Fejezetek a matematika történetéből

( a számfogalom kialakulásától az újkor kezdetéig)

A matematika a legrégibb tudományágak egyike, hiszen az emberiség legkezdetlegesebb gyakorlati tevékenysége is annak létrejöttét vonta maga után. A tevékenységeket meg kell vizsgálni, értelmezni és körülírni. Erre a legalkalmasabb tudomány a matematika, ami precízségével pontosan jellemezni tudja azokat. Az emberek tevékenységei folyamatosan bonyolódnak, s ez azzal jár, hogy a tudomány is bonyolódik, s ez által fejlődik. Új problémák vetődnek fel, amiket meg kell oldani. Ennek a fejlődésnek határt szabni lehetetlen. Mára a matematika hatalmas és szerteágazó tudományággá nőtte ki magát.

Be kell látnunk, hogy a természettudomány eme ágára nagy hatással van a többi tudomány. Talán nem is lett volna ilyen szerteágazó, ha az évezredek során nem születnek újabb megoldandó problémák az építészetben, fizikában, csillagászatban és a többi olyan tudományban, amelyek a matematika nélkül képtelenek lettek volna továbbfejlődni. Nemcsak a matematika fejlődik a többi tudomány hatására, hanem a matematika is hat a többi tudományágra. Nem hiába hívják „minden tudomány szolgálójának és királynőjének”.

A matematikai módszerek kétféleképpen alkalmazhatók:

· Jelenségekkel, folyamatokkal jó közelítésben megegyező matematikai feladatok kiválasztása és ezeknek a feladatoknak a megoldása.

· Új matematikai modellek kidolgozása, mert a közelítő matematikai feladatok idővel elkerülhetetlenül tökéletlennek fognak bizonyulni.

A következőkben azt fogjuk vizsgálni, hogy különböző népek hogyan építették fel matematikájukat. Különböző népek különböző problémák, különböző történelmi háttér. Mindenki kereste a lehető legegyszerűbb megoldást saját feladataikra.

A legtöbben úgy vélik, a matematika bölcsője az ókori Egyiptom, illetve Babilon, azonban nem feledkezhetünk meg az 1900-as években feltárt leletekről, amelyek azt mutatják, hogy már az őskorban foglalkoztatta a számolás, illetve a számírás az embereket.

Ennek a legkorábbi bizonytéka a kb Kr.e. 35000-ben keletkezett Lebombo-csont: egy pávián szárkapocscsontja 29 bemetszéssel. A Dél-Afrika és Szváziföld határán talált leletet feltehetően holdnaptárként használták.

Hasonló az 1937-ben, az akkori Csehszlovákia területén feltárt farkas orsócsontja is. A kb. 30000 éves csonton 55 bemetszés található, két sorban, ötös csoportokra tagolva. Az első sor végét valamint a második sor kezdetét egy-egy hosszabb véset jelzi. Funkciója máig nem ismert, azonban egyes feltételezések szerint egy két hónapos holdnaptár.

Afrikában találtak még további két csontot, Uganda és Kongó határán, Ishangóban. A kb. 20000 éves csontokról többféle elképzelés született. Az első csonton a két sorban rendezett vésetek száma: 9, 19, 21, 11; valamint 11, 13, 17, 19. Az első sor 10-1, 20-1, 20+1, 10+1, a második sorban pedig a 10 és 20 közötti prímszámok találhatók. A második csonton: 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7. Egy mikroszkópos vizsgálat alapján ezt a hold fázisszámításával hozzák kapcsolatba, mivel a sorok összege, 60, 48 és 60, azaz kettő és másfél holdhónap. Más feltételezések szerint a két csont, egymás mellé csúsztatva, gyors számolásra használható, hiszen 3+6+4=13, 5+5+7=17. A második csonton a kettes szorzótábla egyes elemei is megfigyelhetőek az egymás melletti véseteken: 32=6, 42=8, 52=10.

Mindezt egy olyan számolási módra használták, mint amikor a mai ember ötösével számol, úgy, hogy négy függőleges vonalat egy ötödikkel keresztben áthúz. Ebben az esetben azonban az bonyolította a dolgot, hogy a 22 ezer évvel ezelőtti emberek nem a 10-es számrendszert használták, hanem valószínűleg a 6-os és a 10-es keverékét. Hogy naptárként vagy számolásra használták a csontokat, máig vitatott.

Mire használták tehát őseink a számokat? Egyértelműen nem tudunk választ adni erre a kérdésre. Azonban képzeljük bele magunkat egy nomád nép embereinek helyzetébe. Egyértelmű, hogy a nyájak méretének meghatározása és a távolságok mérése volt a legszükségesebb egy vándorló népnek. A következő kérdés, ami megfogalmazódhat bennünk, vajon milyen eszközeik voltak ezeknek a méreteknek a meghatározására. A válasz igazán egyszerű, hisz ők is azt használták, amiket ma is használnak a gyerekek: a kezüket. Hihetetlen, hogy 10 ujj segítségével meg tudták számlálni a több száz birkából álló nyájat. Három ember meg tudott számolni 999 birkát. Ezt a következőképpen tették: az első ember számolta a birkákat, amelyek elhaladtak előtte. A második ember azt számolta, hogy az első hányszor használta fel mind a 10 ujját, míg a harmadik azt, hogy a második hányszor használta fel a 10 ujját. Egyszerű, mégis zseniális.

Ha megvizsgáljuk Dél-Amerikában az egykori inkák számfeljegyzéseit: csomózásos módszert használtak. Az úgynevezett kipukat az államigazgatásban használták. Szerkezete: egy tartózsinórról lóg le négy számzsinór. Ha egy csomó mind a négy számzsinórt átfogja, akkor a csomó ezret jelent. Ha a csomó három számzsinórt fog át, az százat, ha két számzsinórt, az tízet, ha csak egyet, az egyet jelöl. Ezzel a tízes számrendszerbeli információtárolási módszerrel feltehetően nem csak numerikus adatokat rögzítettek.

Pörgessünk egyet az idő kerekén és látogassuk meg Észak-Afrikában az ősi Egyiptomot. Az egyiptomiakat igen képzett építészet jellemezte, s hitvilága is rendkívül fejlett volt. Matematikai eredményeik, azonban szerénynek mondhatók a környék népeinek matematikájához képest. Ellentmondásosnak érezhetjük a tényt, hogy a matematika szerény, míg az építészet fejlett. Ennek oka, hogy ők a matematikának empirikus megközelítését alkalmazták, ami azt jelentette, hogy a tapasztalati úton szerzett eredményeket elfogadták, de az okokra választ nem kerestek. Derékszöget tudtak készíteni egy kötél segítségével. Ennek módja az volt, hogy egy kötelet 12 egyenlő részre osztottak csomókkal, s háromszögként kifeszítették úgy, hogy az oldalak rendre így jöttek: 3; 4; 5. E szerint ismerték, és alkalmazni is tudták ezt a Pitagoraszi számhármast, de magyarázatot miértjére sosem adtak. Ezen kívül pontosan tudták, hogy a piramisok 51^o szöget zárnak be a földdel, de a piramis magasságának meghatározása Thaleszig rejtve maradt előttük. Számaikat az egyszerűség jellemezte. Külön jelzés volt az egyesekre, a tízesekre, a százasokra és így tovább. Láthatjuk, hogy a tízes számrendszerben dolgoztak. Ha le akartak írni egy számot, mondjuk 1916, akkor írtak 1 db ezres értékű jelet, 9 db százast, 1 tízest és 6 egyes értékűt. Ez a módszer nagyon hasonlít az őstársadalom nomád népeinek számlálásához.

A törtszámok írása már komolyabb fejfájást okozott nekik. Különböző időkben különböző módon próbálták a törteket leírni. A legelső próbálkozás Hórusz szemének részeiből alkotott törtszámok voltak. Ezzel a módszerrel meg tudták adni a következő törteket: , , , , és az -et. Ezen kívül külön, speciális jelekkel illettek pár gyakran használt törtet pl , .

Valamivel később egy újfajta törtszámrendszer jelent meg melynek segítségével le tudták írni az alakú törteket. Nem bonyolították túl, leírták azt a számot, amivel az egészet el kell osztani, tehát hogy az egésznek hányad része, s jelezve, hogy ez nem egész számot jelent felé írták Hórusz szemének körvonalát. Az tehát így nézett ki: . A további törteket aztán ezeknek a „törtegységeknek” az összegével írták le, pl = + .

Írásos emlékeink az egyiptomi matematikáról a fáraók idejéből maradtak ránk. Rhaausz fáraó írnoka Ahmesz készítette a híres Rhind-papiruszt. Valamivel később keletkezett a moszkvai papirusz, mely szintén egyiptomi emlék. Ezek a matematikai emlékek mintegy 100-110 gyakorlati matematikai problémával foglalkoztak. Geometriájuk is gyakorlati problémákat feszegetett: terület-, kerület-, térfogatszámítás. Matematikai közelítéseik sok helyen pontatlanok voltak. Ilyen az egyenlőszárú háromszög, és az egyenlőszárú trapéz területszámítása, ahol a magasság helyett a szárak hosszát használták. Azonban az akkori ismeretekhez képest nagyon jó közelítéssel meg tudták határozni a kör területét a következő képen:

Tehát π-t -re kerekítették, ami 3,1605: ez a közelítés Archimedesz-nek is megfelelt, hisz számításaiban ő is ezzel számolt.

Érdekességként megemlíthetjük, hogy a piramisok építése során a távolságok mérésénél használták a π-t. Kőből készítettek egy körhengert, és azt görgetve a fordulatszámból határozták meg a távolságot.

Egyiptom földjén a matematika igazán a görög hódítások utáni hellén korban indult fejlődésnek. Ez azonban már nem az egyiptomi, hanem a görög matematika története.

Következő megállónk a Tigris és Eufrátesz között elhelyezkedő Mezopotámia. A rendkívül termékeny talajú földön virágzott a gazdaság, s a kereskedelem. Mezopotámia fővárosa az Eufrátesz partján elhelyezkedő Babilon. Ha a gazdaság virágzik a kultúra is fénykorát éli. Babilonból több ezer égetett agyagtábla került elő, melyekből számtalan matematikai tartalmú. A legrégebbi táblák Kr.e. 2100-ból maradtak ránk. Ezek az agyagtáblák sok mindenről tanúskodnak. A fennmaradt emlékekből kiolvashatjuk, hogy a babiloniak hatvanas számrendszert használtak, amely a tízes számrendszeren alapul. A legfontosabb találmányuk, amely híressé tette a babiloni matematikát a helyi érték fogalma. Számaikat 1-59-ig leírták. Az egyeseket függőleges ékkel írták le, míg a tízeseket vízszintes ékekkel. Fantasztikus újítást adtak a matematikának mely lehetővé tette a könnyű számolást: szorzás összeadás, kivonás. A számolás megkönnyítésére szorzótáblákat készítettek. Az osztást visszavezették a reciprokkal való szorzásra. Volt négyzet-, köb-, és négyzetgyöktáblájuk. Hihetetlen magas színvonalon művelték a matematikát. Ismerték Pitagorasz tételét, számoltak kamatot, első másod és néha harmadfokú egyenletet is megoldottak. Egyik agyagtáblán olyan derékszögű háromszögek sora találhatóak, melyeknek oldalai mind egész számok. Tehát ismerték és elő is tudták állítani a pitagoraszi számhármasokat. Az algebra kezdetleges formájáról beszélhetünk. Geometriájuk is algebrai jellegű volt. Terület és kerületszámításaik is meglehetősen pontos közelítések. Megelégedtek a π=3 közelítéssel. Ez is azt mutatja, hogy míg az egyiptomiak gyakorlati matematikával foglalkoztak addig a Mezopotámia elméletben foglalkozott a problémákkal. Ki hagyott tehát fontosabbat az utókorra? Egyiptomi piramisok, amik az ókori világ 7 csodájából az egyik, vagy a babiloniak, akiknek kutatásai, felfedezései nélkül talán mi sem ott lennénk, ahol vagyunk?

Az egyetlen nagy hiányossága az volt, hogy nem jelölték a zérust. Így számcsoportjaik nem voltak egyértelműek. Tehát a jelcsoport jelenthette a 2760²+1560+10=98110 valamint a 2760³+1260²+10=5875210.

Ha megvizsgáljuk a mai számainkat láthatjuk, hogy ugyanazon az elvet használjuk mint a babiloniak a zérus jelöléssel kiegészítve. Törtjeinket úgy írjuk, hogy az egészeket a tizedesvessző elé írjuk, s a törtrészeket meg a tizedesvessző után. A tizedesvessző utáni helyi értékek: ; ; stb. Hihetetlen, de ezt a trükköt a babiloniak is ismerték. Tizedesvesszőt nem használtak. Azt, hogy egész, vagy tört a szám a szövegkörnyezetből kellett kitalálni. A törtek helyi értékei: ; ; stb. A számok precízségének köszönhetően a babiloniak rendkívül fejlett csillagászattal dicsekedhettek. Majdnem 2000 agyagtábla foglalkozik a csillagászati problémákkal. Ezek nagy része rutinszerű, hold és napfogyatkozás előrejelzésével foglalkozik. Azonban körülbelül 300 agyagtábla izgalmasabb problémákat feszeget. Például a Merkúr, Mars, Jupiter és Szaturnusz mozgását próbálták leírni. A leghíresebb ezek közül a Jupiter-tábla. Kr.e. 1630-as években keletkezett. A táblán három „hatvanad” jegyig dolgoztak. Ez kicsit pontosabb, mintha 5 tizedes jeggyel dolgoznánk.

A babiloni hatvanas számrendszer nyomai napjainkban is felfedezhetők: 60 másodperc van egy percben, 60 perc egy óra, a kört 360 fokra osztjuk fel. Mindezt a babiloniaknak köszönhetjük.

A babiloniak sok téren maradandót adtak a világnak. Többnyire a mai számítógépek is úgy közelítik meg a négyzetgyök kettőt, ahogy a babiloniak tették. Ezt egy konvergens sorozatként kell elképzelni. A legelső becslés nagysága nem számít, viszont a következő becslést az előzőből kell kiszámolni. Ezt a képletet használták, és még használják ma is a számítógépek, számológépek: . Ezzel a módszerrel három „hatvanad” jegyig kiszámolták a négyzetgyök kettőt.

A hinduk és a görögök valószínű, hogy a Babiloniával folytatott kereskedelem révén ismerkedtek meg a helyiértékrendszerrel. A hinduk ősi korszakában már jelen volt a tízes számrendszer. A tízes számrendszer és a helyiértékrendszer valószínűleg Indiában olvadt össze. Az első szám amely tízes számrendszerben volt leírva a 346. Ez egy dátumot jelöl egy Kr.e. 595-ből fennmaradt hindu táblán. Több írásos emlék is megmaradt az utókor számára, amelyeken felbukkan a „szunja” vagyis zérus. Megszületett tehát a ma is alkalmazott számhasználat.

Ha a matematika történetéről beszélünk, kinek ne jutna eszébe a híres görög matematika? A görögök az ókorban kétféle számrendszerrel is büszkélkedhettek. A régebbi az attikai, vagy hérdianoszi számrendszer. Ez ötös rendszerrel átfedett tízes rendszer, amelyben a tízes fokozatot a görög számnevek kezdőbetűivel jelölték. Pl.: 10 - Дeka jele: Д; 100 - Hekaton jele: H stb... Ezt a rendszert többnyire a kereskedelemben alkalmazták. Ennél valamivel fiatalabb a milétoszi számrendszer. Ez már alkalmasabb volt a számolásra, s így elsősorban tudományos célokat szolgált. Ezt használta még Arkhimédész és Diophantosz is. Valamint még a babiloni hatvanas számrendszert is, de nem ékírással. A görög matematikusok a számtant a lehető legalaposabban vizsgálták. Megvizsgálták a számok oszthatóságának kérdéseit. Különböző arányokkal dolgoztak.

A számok számtani arányban vannak egymással, ha számtani sorozatot alkotnak, vagyis a; b; c akkor, ha a-b=b-c. Mértani arányban akkor vannak, ha mértani sorozatot alkotnak, tehát , végül harmonikus arányban akkor vannak, ha reciprokjaik számtani sorozatot alkotnak, tehát . Fontos megemlíteni, hogy csak arányokról beszélünk, nem sorozatokról. Ezen a ponton kapcsolódik a matematika egy másik tudománnyal, a zenével. A harmonikus arány a zeneelméletből ered, ugyanis az egész hangok közötti intervallumok fordítottan arányosak a hangmagassággal. Ez a barokk hangolású hangszerek elve. Ha a kezdő hang a g akkor a g-a hangtávolság nagyobb, mint a c-d. Mindez azt is jelenti, hogy a barokk hangolású hangszereken a hangok közötti távolságok reciprokaik egy számtani sorozatot alkotnak.

A következő, amit szintén a görögöknek köszönhetünk: a közép fogalma. Két szám számtani közepe azt a számot jelentette, amelyik az egyik számtól, és a másik számtól is ugyanolyan távolságra van a számegyenesen. Tehát: ugyanez több számra is érvényes: .

Két szám mértani közepe a geometriában számtalan helyen megjelenik. A görögök a geometriában hihetetlen eredményeket értek el. Az ő nevükhöz köthető a mértani középarányos tételek is a derékszögű háromszögben. Tehát a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság, mértani közepe az átfogón nyert két metszetnek. Tehát ugyanannyiszor nagyobb a kisebb metszetnél, mint ahányszor kisebb a nagyobb metszetnél. Ugyanez érvényes a befogóra, ami ugyanannyiszor nagyobb az átfogón lévő merőleges vetületénél, mint ahányszor kisebb az átfogónál. Ez pontosan azt jelenti, hogy a mértani közepe két számnak . Ugyanez érvényes több számra is: . Ismerték a harmonikus közepet is: .

A görögök elsősorban a geometriában alkottak maradandót. Ki ne ismerné Pitagorasz nevét és a hozzá kapcsolódó tételt. Bár tudnunk kell, hogy magát a tételt a gyakorlatban már Kr.e. 2000 körül alkalmazták, de a tétel bizonyítására abban az időben még nem volt igény.

Pitagorasz iskolájára (Kr.e. VI-V. század) az volt jellemző, hogy az egyes számoknak és a számok kölcsönös viszonyának mágikus jelentősséget tulajdonítottak és a számelmélettel való foglalkozást a kiválasztottaknak és felkenteknek privilégiumának tekintették.

Az örök törvényeket pedig a matematika, a csillagászat és a zene tanulmányozásával szándékozták megtalálni. A zenei összhangban mutatkozó számszerű összefüggések azt a gondolatot ébresztették, hogy a számok biztosítják az élet más területén is a harmóniát. A pitagoreusok ismerték a szabályos testeket, a szabályos ötszög szerkesztését és módszert találtak a pitagoraszi számhármasok korlátlan mennyiségű előállítására is.

Mivel a geometriai ismeretek egyre szerteágazóbbak és absztraktabbá váltak, rendszerezésük is megindult. Ezek a rendszerező művek, a geometriai munkákban bevezették, és tökéletesítették a bizonyítási módszereket. Az első ilyen Hippokratész „Elemek” című műve volt Kr.e. 450-ben. Más szerzők is írtak „Elemek” címmel geometriai csoportosításokat, ezek azonban az idők folyamán feledésbe merültek és elvesztek, Euklidesz „Elemek” című művének megjelenése után. Euklidesz oly pontos rendszert állított fel, amely 2000 évig megdönthetetlennek bizonyult, felépítését és logikai szigorúságát tekintve. Mindmáig az általa írt „Elemek” az alapja minden rendszeres iskolai geometriai oktatásnak, de a tudományos kutatások is nagymértékben erre támaszkodnak. Az euklideszi geometria tárgyalási módja az axióma rendszer, amely öt alap axiomát állít fel, amelyek igazát elfogadja, az összes többi állítást erre az ötre vezeti vissza. Ugyanígy a geometriai szerkesztésekhez öt posztulátumot is állít, amely a szerkesztések elvégezhetőségét mondja ki.

Az euklideszi geometria mintegy 2000 évig kielégítő rendszert tudott nyújtani, és csak a XIX században a matematikai szigorúság növekvő igényeinek jobban megfelelő axiomarendszer tudta azt részben kiegészíteni, részben megváltoztatni. (Bolyai János, Hilbert)

Hogyan ismerték meg a különböző népek egymás matematikáját? Az egymás mellett élő népek többnyire a kereskedelem révén, s ez néha a tengerre is kiterjedt. Thalesz görög kereskedő volt, aki a görög matematikát hajón vitte át Egyiptomnak. Ő határozta meg először a piramisok magasságát a hasonlósággal a piramisok árnyékának segítségével.

A Kr.e. III évszázad táján a görög és a keleti kultúra találkozási helye és a Földközi tenger világának tudományos központja Alexandria lett. Az Alexandriai könyvtár akkoriban világhírű volt és tudományos központjában sok világhírű tudós működött. (pl.: Euklidesz, Appolóniusz, Arkhimedesz)

A matematika történetének és fejlődésének útja a Kr.u. VI századtól egészen sajátos irányt vett. Egy keletről jövő és akkor még nomád nép: az arab, Mohamed vallási tanaival - amely új összetartó erőt ébresztett bennük – hódító háborúi során egész Észak-Afrikát leigázva 711-ben Gibraltárnál átkelt Európába és elfoglalta az Ibériai félsziget nagy részét is. Ez az új nagy birodalom összeolvasztotta a hindu, iráni, görög, muzulmán, keresztény és zsidó műveltséget: közvetített, feljegyzett, magyarázott és továbbfejlesztett. A tudomány minden területén de különösen a matematikában és a csillagászatban korszakalkotó jelentőségű, új felfedezéseket tett. Azt, hogy a görög matematika fennmaradt, továbbfejlődött és Európában is elterjedt, azt elsősorban az araboknak lehet köszönni. Az arabok átfogó képet tudtak alkotni a matematikáról, hisz az arab kereskedők eljutottak Gibraltárig, Közép-Afrikáig, Madagaszkárig, Kínáig és Indonéziáig. Természetesen ők maguk is alakítgatták a matematikát. A ma használt számjegyeket is tőlük örököltük, igaz, nagyban hasonlítanak az indiai számokra, de mindmáig arab számoknak hívjuk őket. A csillagászatban is nagyot alkottak. Bagdadban a „bölcsesség házát” könyvtárral és csillagvizsgálóval látták el az arabok.

Birodalmuk egyesítése után Észak-Afrikán keresztül eljutottak a Hispániai-félszigetre. Útjuk során harcoltak perzsákkal, s Bizáncot is megostromolták. A birodalom oly méreteket öltött, amit már nem tudtak egy kézből irányítani, így az kalifátusokra esett szét. Innentől kezdve az arabok elsősorban tengerről támadták Dél-Európát. De ez idő alatt Európa megerősödött. Először Poitiersnél verik vissza az arabokat 732-ben. Majd a Hispániai-félsziget visszahódítása következett, valamint megkezdődtek a keresztes háborúk. Ennek során elvesztik a Szentföldet. Az arabokat végleg 1492-ben űzik ki a Hispániai-félszigetről.

De ekkor már az arabok elvégezték a feladatukat a mi szemszögünkből. Kultúrájukat, amiben benne volt Kína, Egyiptom, Mezopotámia, görögök, már átadták az általuk uralt területek népeinek.

Így a matematika is elkerült a Földközi-tengert megkerülve Európába. Ennek következtében az európai népek is nekiállhattak a matematika fejlesztésének, kiegészítésének, és átalakításának. Ez a folyamat mindmáig nem ért véget, s valószínű a matematika rejtelmeit sohasem fogjuk maximálisan kiismerni.

Források:

http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html

http://www.africamaat.com/Africa-The-true-cradle-of

http://www.shp.hu/hpc/web.php?a=evajakabffy&o=ujdonsagok___matematika_2kj

http://hu.wikipedia.org/wiki/N%C3%A9gyzetgy%C3%B6k_2

http://matek.hunyadi-csna.sulinet.hu/portals/ematek/www.sulinet.hu/ematek/html/diophantosz.html

Sain Márton: Matematikatörténeti ABC

Beer, W. et al.: Természettudományi kisenciklopédia

K. A. Ribnyikov: A matematika története

Ian Stewart: A végtelen megszelídítése (A matematika története)