10.tétel

Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonitás, konvergencia), nevezetes számsorozatok.

Számsorozatok és tulajdonságaik

2,3,4,5,6 - véges számsorozat

pozitív páros számok növekvő sorrendben - végtelen számsorozat

Def.: Végtelen számsorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Jelölések: {a_n}

Az {a_n} sorozat első eleme: a₁

                          n-edik eleme: a_n

Sorozatok megadási módjai:

1.       A tagok felsorolása (pl. 0, 3, 8, …)

2.       A sorozatot meghatározó függvény megadása (pl.: n® n² - 1, ekkor a₁ = 0, a₂ = 3, …)

3.      Szöveges utasítással (pl: a négyzetszámoknál 1-gyel kisebb számok sorozata)

4.      Explicit képlet (n-edik tagra vonatkozó képlet) (Pl.: a_n = n² - 1)

5.      Rekurzív képlet (a megelőző sorozatbeli elem(ek) segítségével állítjuk elő a sorozat következő tagját) (pl.: a₁ = 0 és a_n = a_n-1 + 2n - 1, ha 2 £ n)

Számsorozatok tulajdonságai:

·         monotonitás

Def.: Az {a_n} sorozat szigorúan monoton nő, ha bármely n-re a_n < a_n+1. (pl.: a_n = 2n)

Def.: Az {a_n} sorozat szigorúan monoton csökken, ha bármely n-re a_n > a_n+1. (pl.: a_n = -n)

Def.: Az {a_n} sorozat monoton nő, ha bármely n-re a_n £ a_n+1. (pl.: f₁ = 1, f₂ = 1 és f_n+1 = f_n + f_n-1)

Def.: Az {a_n} sorozat monoton csökken, ha bármely n-re a_n ³ a_n+1. (pl.: a_n = a_n-1 konstans sorozat)

·         korlátosság

Def.: Az {a_n} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re K ³ a_n.

(pl.: a_n = -n, K = -1)

Def.: Az {a_n} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re k £ a_n.

(pl.: a_n = n, k = 1)

Def.: Az {a_n} sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. (pl.: , K = 1 és k = 0)

·         konvergencia

Def.: Az {a_n} sorozat konvergens, és határértéke az a valós szám, ha minden e pozitiv valós számhoz létezik egy olyan küszöbindex, hogy minden ennél nagyobb indexű tag távolsága a-tól e-nál kisebb.

(pl.:  )

Def.: Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek, divergensnek nevezzük.

Def.: Az {a_n} sorozat a plusz (mínusz) végtelenbe tart, ha minden valós K esetében létezik olyan pozitív természetes N szám, hogy a_n > K (a_n < K), minden n > N esetében.

(pl.: a_n = n + 1, ; b_n= -n³, )

·         periodicitás

Def.: Az {a_n} sorozat periodikus, ha létezik olyan p pozitív egész szám, hogy minden n-re a_n = a_n+p. A legkisebb ilyen tulajdonságú p számot a sorozat periódusának nevezzük.

(pl.: 1, 2, 3, 1, 2, 3, … p = 3)

Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos.

Tétel: Ha egy sorozat felülről (alulról) korlátos és monoton növő (fogyó), akkor konvergens.

Számtani sorozatok

Def.: Az olyan sorozatokat, amelyeknek a második tagtól kezdve minden tagját úgy kapjuk meg, hogy a sorozat előző tagjához hozzáadunk egy a sorozatra jellemző állandó számot (differencia), számtani sorozatoknak nevezzük.

Azaz: számtani sorozatoknál az a_n+1 - a_n (n pozitív természetes szám) különbség állandó.

Jelölés: d = a_n+1 - a_n (differencia)

Megadási képletek:

1.      a_n = a_n-1 + d, 2 £ n (rekurzív képlet)

2.      def. szerint: a₂ = a₁ + d; a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d; a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d= a₁ + 3d; …; a_n = a₁ + (n - 1)d (explicit képlet)

3.      a_n = dn + (a₁ - d)

Tulajdonságok:

Tétel: A számtani sorozat bármely tagja a szomszédos, illetve a hozzá képest szimmetrikusan elhelyezkedő tagoknak a számtani közepe.

Azaz: , ha n - k ³ 1

Bizonyítás:

Tétel: A számtani sorozat első n elemének összege:

Bizonyítás: Az összeg meghatározásához Gauss ötletét használjuk, azaz kétszer egymás alá felírjuk az összeadandó tagokat:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ +… + a_n-2 + a_n-1 + a_n

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 +… + a₃ + a₂ + a₁

Összegezve:

A fenti összeg minden tagja (a₁ + a_n)-nel egyenlő, mivel

Így . A kifejezés mindkét oldalát kettővel osztva kapjuk a fenti képletet.

Mértani sorozatok

Def.: Az olyan sorozat, amelyeknek a második tagtól kezdve minden tagját úgy kapjuk meg, hogy a sorozat előző tagját megszorozzuk a sorozatra jellemző állandó számmal, mértani sorozatoknak nevezzük.

Azaz: mértani sorozatoknál az  hányados állandó.

Jelölés:  (kvóciens, quotiens)

Megadási képletek:

1.      , ha n ³ 2 (rekurzív képlet)

2.      def. szerint: , , , …,  (explicit képlet)

Tulajdonságok:

Tétel: A mértani sorozat bármely tagjának négyzete megegyezik a hozzá képest szimmetrikusan elhelyezkedő tagok szorzatával.

Azaz: , ha n - k ³ 1

Bizonyítás: , ha . Ha q = 0, akkor is teljesül az állítás, mivel ekkor mindkét oldal 0-val egyenlő.

Következmény: Pozitív számokból álló mértani sorozat esetén bármely tag a hozzá képest szimmetrikusan tagok mértani közepe.

Tétel: A mértani sorozat első n elemének összege: , ha , illetve S_n = na₁, ha q = 1.

Bizonyítás: , mivel a sorozat mértani:

(1)

Ha a fenti egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk q-val:

(2)

A második és az első egyenlet különbsége: (2) - (1) , azaz

Ha , akkor

Ha q = 1, akkor a sorozat konstans, így S_n = na₁

Fibonacci-sorozat

Def.: Az f₁ = 1, f₂ = 1 és f_n+1 = f_n + f_n-1 rekurzív képlettel megadott sorozatot Fibonacci-sorozatnak nevezzük.

A sorozat első néhány tagja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Pl: Ha egy fa úgy terebélyesedik, hogy minden új ág a létrejöttét követő évben csak növekszik, ezután minden évben hajt egy új ágat, akkor az ágak számának évenkénti alkulása éppen a Fibonacci-sorozattal adható meg.

Alkalmazások

·         kamatos kamatszámítás

·         szaporulat kiszámítása

·         légszivattyú működtetése

·         oldatok hígítása