(
).11. tétel
Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával.
Def.: Adottak A és B nem üres halmazok. Ha A minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük B valamelyik elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Elnevezések, jelölések: A függvényeket általában írott kisbetűvel jelöljük.
f(x) - az f függvény x helyen vett helyettesítési értéke
Df - A halmaz: értelmezési tartomány
Rf - B halmaz azon elemei, amelyek szerepelnek a hozzárendelésben (helyettesítési értékek halmaza): értékkészlet
Függvénytulajdonságok
ˇ zérushely
Def.: Az f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának azon elemeit, amelyekre f(x) = 0.
ˇ monotonitás
Def.: Az f függvény az értelmezési tartományának egy
intervallumában szigorúan monoton növő (csökkenő), ha az
intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a
megfelelő függvényértékekre fennáll ().
Def.: Az f
függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában monoton növő (csökkenő),
ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél
a megfelelő függvényértékekre fennáll
(
).
ˇ szélsőérték
Def.: Az f függvénynek abszolút minimuma (maximuma) van az értelmezési tartományának a értékénél, ha a függvény ott felvett f(a) értékénél sehol sem vesz fel kisebb (nagyobb) értéket.
Def.: Az f függvénynek
lokális minimuma (maximuma) van az értelmezési tartományának a
értékénél, ha létezik olyan e
pozitív valós szám, hogy az értelmezési tartomány azon x elemeire,
amelyek a-nak e sugarú
környezetébe esnek, 
(
).
ˇ korlátosság
Def.: Az f
függvény felülről (alulról) korlátos, ha létezik olyan K
(k) szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére
(
).
Az ilyen tulajdonságú K (k) számokat a függvény felső (alsó)
korlátjának nevezzük.
Def.: Az f függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról is, és felülről is korlátos.
ˇ konvexitás, konkávitás, inflexió
Def.: Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában konvex (konkáv), ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél fennáll, hogy a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt (felett) halad.
Def.: Az f függvénynek inflexiós pontja van az értelmezési tartományának egy x0 helyén, ha létezik az értelmezési tartománynak olyan (a; b) (a < x0 < b) intervalluma, hogy f az (a; x0]-ban konvex (konkáv), az [x0; b)-ben konkáv (konvex).
ˇ paritás
Def.: Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x) = f(x).
Megjegyzés: Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.
Def.: Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x) = -f(x).
Megjegyzés: Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.
ˇ periodicitás
Def.: Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valós szám amelyre teljesül hogy, ha x eleme az értelmezési tartománynak, akkor x + np (n egész szám) is eleme az értelmezési tartománynak, és fennáll, hogy f(x + np)= f(x). Ha létezik az ilyen tulajdonságú p számok között legkisebb, akkor ezt a függvény periódusának nevezzük.
ˇ határérték
Def.: Az f függvény határértéke b helyen c, ha:
1. f értelmezve van b egy lyukas környezetében,
2. Bármilyen pozitív valós e-hoz létezik olyan pozitív valós d, hogy minden olyan x-re, amely b d sugarú lyukas környezetében van, teljesül, hogy f(x) c e sugarú környezetben van.
ˇ folytonosság
Def.: Az f függvény folytonos a b helyen, ha:
1. az f értelmezve van b egy d sugarú környezetében (d pozitív valós szám),
2. f-nek létezik b helyen vett határértéke, és
3.
,
azaz f b helyen vett határértéke megegyezik a b helyen vett
helyettesítési értekkel.
ˇ differenciálhatóság
Def.: Azt mondjuk, hogy az
f függvény differenciálható (deriválható)az értelemzési
tartományának x0 helyén, ha f értelmezve van x0
egy d sugarú környezetében, és a
határérték
létezik és véges. Az említett határértéket f függvény x0-beli
differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük.
Jelölése:
Megjegyzés: Az
kifejezést
az f függvény x0-hoz, és x-hez tartozó
differenciahányadosának nevezzük. Ennek szemléletes jelentése: a függvény
grafikonjának (x, f(x)) és az (x0, f(x0))
pontjait összekötő egyenes meredeksége. A differenciálhányados szemléletes
jelentése pedig: a függvény grafikonjának (x0; f(x0))
pontjához tartozó érintő meredeksége.
Def.: Ha egy adott f függvény értelmezési tartományának minden olyan x eleméhez, ahol f differenciálható, hozzárendeljük az x-hez tartozó differenciálhányados értékét, akkor az függvény deriváltfüggvényét (differenciálhányados függvényét) kapjuk.
Jelölése: f'(x)
Tétel: Ha f differenciálható az értelemzési tartományának x0 helyén, akkor itt folytonos is.
Megjegyzés: Ez a differenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele. A tétel megfordítás nem igaz! Pl.: Az f(x) = |x| függvény folytonos az x0 = 0 helyen, mégsem deriválható.
Tétel: f(x) = xn ( n
pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és
.
Bizonyítás: teljes indukcióval
1. n = 1 esetén igaz az állítás: x' = 1
2. Bebizonyítjuk, hogy ha n-re igaz az állítás, akkor n+1-re is igaz:
(1) a szorzat deriváltjára vonatkozó szabály miatt, (2) az 1. pont és az indukciós feltevés miatt áll fenn.
Függvényvizsgálat a differenciálszámítás felhasználásával
ˇ monotonitás
Tétel: Ha az f függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, és ezen az intervallumon az f deriváltfüggvénye pozitív (negatív) értékeket vesz fel, akkor az f függvény szigorúan monoton növő (csökkenő) ezen az intervallumon.
Megjegyzés: A fenti tétel megfordítása hamis! Pl.: Az f(x) = x3 függvény szigorúan monoton nő, mégis f'(0) = 0.
Tétel: Ha az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumán szigorúan monoton növő (csökkenő), akkor ezen az intervallumon az f függvény deriváltfüggvénye nemnegatív (nempozitív) értékeket vesz fel ezen az intervallumon.
ˇ szélsőérték
Tétel: Ha az f függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, és ennek az intervallumnak az x0 pontjában f-nek szélsőértéke van, akkor f'(x0) = 0.
Megjegyzés: Ez egy szükséges feltétel.
Tétel: Ha az f függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, és ennek az intervallumnak az x0 pontjában f'(x0) = 0, továbbá ebben a pontban a deriváltfüggvény előjelet vált, akkor az f függvénynek az x0 pontban lokális szélsőértéke van.
Megjegyzés: Ez egy elégséges feltétel.
ˇ konvexség, konkávság
Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, akkor ezen az intervallumon az f második deriváltfüggvénye akkor és csak akkor vesz fel nemnegatív (nempozitív) értékeket, ha az f függvény konvex (konkáv) ezen az intervallumon.
ˇ inflexió
Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, és ennek az intervallumnak az x0 pontjában f-nek inflexiós pontja van, akkor f''(x0) = 0.
Megjegyzés: Ez egy szükséges feltétel.
Tétel: Ha az f(x) függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy intervallumán, és ennek az intervallumnak egy x0 pontjában f''(x0) = 0, továbbá ebben a pontban a második deriváltfüggvény előjelet vált, akkor az f függvénynek az x0 pontban a függvénynek inflexiós pontja van.
Megjegyzés: Ez egy elégséges feltétel.
Alkalmazások
ˇ függvényvizsgálat
Fizikában
ˇ az s(t) függvény (út az idő függvényében) [t0; t] intervallumán a differenciahányados az átlag-, míg a differenciálhányados az adott t-hez tartozó pillanatnyi sebességet adja meg. Éppen ezért: s'(t) = v(t) , s''(t) = v'(t) = a(t)
ˇ Q'(t) = I (az áthaladó töltéseknek az idő szerinti első deriváltja az áramerősség)
ˇ W'(t) = P (az elvégezett munka idő szerinti első deriváltja a teljesítmény)