12.tétel
A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában
A hasonlóság - emlékeztető, definíciók, fontosabb tételek
Def.: Geometriai transzformációnak olyan egyértelmű hozzárendelést nevezünk, mely egy adott ponthalmaz minden pontjához egyértelműen hozzárendeli egy ponthalmaz valamelyik pontját.
Tehát a geometriai transzformáció is egy függvény. Geometriai transzformáció pl. a hasonlóság is.
Def.: Azokat a geometriai transzformációkat, amelyek távolságtartóak, egybevágósági transzformációknak nevezzük.
Ilyenek: [1.] a tengelyes tükrözés; [2.] a középpontos tükrözés; [3.] a pont körüli elforgatás; [4.] az eltolás.
Tulajdonságai: távolságtartó, egyenestartó, szögtartó.
Tétel: Egybevágósági transzformációk szorzata (kompozíciója) is egybevágósági transzformáció.
Tétel: A sík bármely egybevágósági transzformációja eltolás, forgatás, tükrözés vagy csúsztatva tükrözés.
Def.: Két alakzat egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi.
Def.: Azokat a geometriai transzformációkat, amelyek aránytartóak, azaz létezik olyan λ > 0 valós szám, hogy bármely A, B pontra igaz, hogy d(A';B') = λd(A;B), hasonlósági transzformációknak nevezzük.
Speciális eset: λ = 1 esetén, egybevágósági transzformációról beszélünk.
A középpontos hasonlóság
Def.: Adott egy O
pont és λ > 0 szám. A sík minden P pontjához egyértelműen
hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P' pontját, amelyre
.
Ezt a transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük.
Megjegyzés: Ha λ <0, akkor a fenti módon definiált transzformáció egy |λ| középpontos hasonlóság és egy O-ra való középpontos tükrözés szorzata, ezért itt csak a λ > 0 esettel foglalkozunk.
Ω λ > 1: középpontos nagyítás;
Ω λ = 1: identitás (helyben hagyás);
Ω 0 < λ < 1: középpontos kicsinyítés.
Tulajdonságok:
Ω Aránytartó.
Ω Egyenestartó.
Ω Szögtartó.
Ω Körüljárástartó.
Ω Fixpontja az O pont.
Ω Invariáns alakzata minden O-n áthaladó egyenes.
Tétel: Bármely hasonlósági transzformáció előállítható középpontos hasonlóság és egybevágósági transzformáció szorzataként.
A hasonlósági transzformációk tulajdonságai
Ω A hasonlósági transzformáció aránytartó.
Ω A hasonlósági transzformáció szögtartó.
Ω A hasonlósági transzformációnak fix alakzata és invariáns alakzata általában nincs.
Alakzatok hasonlósága
Def.: Két alakzat hasonló, ha létezik olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi.
Tétel: Bármely két kör (gömb) hasonló
Tétel: Két n oldalú szabályos sokszög mindig hasonló
Tétel: Két háromszög hasonló, ha az alábbi feltételek valamelyike teljesül.
Ω Megfelelő oldalaik hosszának aránya megegyezik.
Ω Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és az ezek által közrefogott szögek egyenlők.
Ω Két-két oldalhosszuk aránya és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögük egyenlő.
Ω Megfelelő szögeik páronként egyenlők. (Mivel a háromszög szögeinek összege 180°, bármely két-két szög egyenlőségéből a harmadik egyenlősége is következik, mivel γ = 180° - (α + β) = 180° - (α' + β') = γ'.)
Megjegyzések:
1. Ha a tétel 4 feltételének valamelyike teljesül, akkor a többi is teljesül. Ekkor a két háromszög minden megfelelő szakaszának aránya egyenlő, és a megfelelő szögeik is egyenlők.
2. A tételben csak a legalapvetőbb eseteket soroltuk fel. A háromszög más megfelelő adataival is bizonyíthatjuk azok hasonlóságát.
Tétel: Ha két sokszögben a megfelelő oldalak arányai és a megfelelő szögek páronként egyenlők, akkor a két sokszög hasonló.
Hasonló síkidomok kerületének aránya egyenlő a
hasonlóság arányával: 
.
Hasonló síkidomok
területének, felszínének aránya egyenlő a hasonlóság arányának négyzetével:
,
.
Hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának köbével:
.
A hasonlóság alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában
Tétel: Az átfogóhoz tartozó magasság két hasonló derékszögű háromszögre osztja az eredetit, amelyek az eredetivel is hasonlóak.
