13. tétel

Derékszögű háromszögek.

Def.: Az olyan háromszöget, amelynek a három szöge közül az egyik derékszög, derékszögű háromszögnek nevezzük.

Elnevezések: A derékszöget közrezáró oldalak a befogók, a harmadik oldal az átfogó.

Pitagorasz-tétel

Pitagorasz- tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

Bizonyítás: lásd 25. tétel

A Pitagorasz-tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának a négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor ez a háromszög derékszögű és a derékszög a harmadik (legnagyobb) oldallal szemben van.

Befogótétel, magasságtétel

Tétel: Az átfogóhoz tartozó magasság két hasonló derékszögű háromszögre osztja az eredetit, amelyek az eredetivel is hasonlóak.

Bizonyítás: lásd 12. tétel

Megjegyzés: Ebből a tételből következik a befogó- és a magasságtétel.

Befogótétel (Eukleidész- tétele): A derékszögű háromszögben a befogó az átfogóra eső merőleges vetületének és az átfogónak a mértani közepe.

Azaz (az ábra jelöléseit használva): a² = pc, illetve b² = qc

Bizonyítás: lásd 12. tétel

Magasságtétel (Eukleidész- tétele): A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek mértani közepe.

Azaz (a fenti ábra jelöléseit használva): m² = pq

Bizonyítás: lásd 12. tétel

Thalész- tétel

Thalész- tétel: Adottak A, B, és C pontok a síkon. Ha C pont rajta van az AB szakasz, mint átmérő fölé írt körön, akkor az ABC háromszög derékszögű, és átfogója az AB szakasz.

Bizonyítás: lásd 3. tétel

Thalész- tétel megfordítása: A derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja.

Bizonyítás: lásd 3. tétel

Hegyesszögek szögfüggvényei

Def.: Derékszögű háromszögben az α hegyesszög szögfüggvényei:

·         Az α szög szinusza az α-val szemközti befogó és az átfogó hányadosa: .

·         Az α szög koszinusza az α melletti befogó és az átfogó hányadosa: .

·         Az α szög tangense az α-val szemközti befogó és az α melletti befogó hányadosa: .

·         Az α szög kotangense az α melletti befogó és az α-val szemközti befogó hányadosa: .

Azonosságok

, ugyanis felhasználva a szögfüggvények definícióit:

, ugyanis felhasználva a szögfüggvények definícióit:

sin² α + cos² α = 1, ugyanis felhasználva a szögfüggvények definícióit és a Pitagorasz-tételt:

Összefoglalás (Tudnivalók a derékszögű háromszögekről)

Tétel: Derékszögű háromszög két hegyesszögének összege 90°.

Bizonyítás: A háromszög belső szögeinek összege 180°, így a + b = 180°- g =180°- 90° = 90°.

Pitagorasz- tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

Thalész- tétel megfordítása: A derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja, sugara az átfogó fele.

Tétel: A derékszögű háromszögbe írt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja, sugara: .

Tétel: A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két hasonló derékszögű háromszögre osztja az eredetit, amelyek az eredetivel is hasonlóak.

Ennek következménye a befogó- és a magasságtétel.

Tétel: A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonala olyan két egyenlőszárú háromszögre osztja az eredetit, melyeknek területei egyenlő nagyságúak.

Bizonyítás:

 a Thalész-tétel megfordítása miatt.