14. tétel

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei.

Középvonal, súlyvonal, súlypont

Def.: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakaszt középvonalnak nevezzük.

Tétel: A középvonal párhuzamos az általa nem felezett oldallal és hossza fele a nem felezett oldal hosszának.

Bizonyítás:

Ötlet: Tükrözzük a háromszöget F_a pontra!

            

ABA'C négyszög paralelogramma, mert AC szakasz párhuzamos BA' szakasszal és AB szakasz párhuzamos CA' szakasszal (középpontos tükrözésnél szakasz és képe párhuzamos).

AF_bF_b'B négyszög is paralelogramma, mert AF_b szakasz párhuzamos BF_b szakasszal, és hosszuk egyenlő (mivel F_b és F_b' az ABA'C paralelogramma oldalfelezői).

Ebből következik, hogy AB szakasz párhuzamos F_bF_b' szakasszal és hosszuk egyenlő.

Eszerint F_aF_b = k_c szakasz is párhuzamos AB szakasszal és k_c szakasz hossza egyenlő AB szakasz hosszának felével. Ezzel a tétel be van bizonyítva.

Következmény: ABC háromszöget a középvonalak négy egybevágó háromszögre osztják. Ezek a háromszögek hasonlóak az eredeti háromszöghöz, mert szögeik megegyeznek. (λ = 1/2)

Def.: A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja.[1] A háromszög bármely súlyvonalára igaz, hogy a súlypont a súlyvonal oldalfelező ponthoz közelebbi harmadolópontja.

Bizonyítás:

Először megmutatjuk, hogy AF_a és BF_b súlyvonalak harmadolják egymást.

                        

Jelölje ABC háromszög s_a és s_b súlyvonalának metszéspontját S. Legyen továbbá az AS szakasz felezőpontja P, a BS szakasz felezőpontja Q.

Az ABC háromszögben F_aF_b középvonal, ezért F_aF_b szakasz hossza fele AB szakasz hosszának és párhuzamos vele.

Az ABS háromszögben PQ középvonal, ezért PQ szakasz hossza fele AB szakasz hosszának és párhuzamos vele.

A fenti két észrevételt összevetve azt kapjuk, hogy PQF_aF_b négyszög paralelogramma, mivel PQ és F_aF_b szakaszok egyenlő hosszúak és párhuzamosak.

A paralelogramma átlói felezik egymást, így PS = SF_a és QS = SF_b.

Mivel P és Q az AS illetve BS szakaszok felezőpontjai, ezért AS = 2SF_a és BS = 2SF_b.

Ha bizonyításunkat az s_a, s_c súlyvonalpárra is elvégeznénk, akkor azoknak is s_a harmadolópontján (S ponton) kéne áthaladniuk.

Ezért mindhárom súlyvonal ugyanazon az S ponton megy keresztül.

A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt kör

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást és ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja. A köré írható kör sugara ennek a pontnak és bármelyik csúcspontnak a távolsága.

Bizonyítás:

Legyen f_c az AB oldal felező merőlegese, f_a a BC oldalé.

f_a és f_c metszik egymást, mert AB és BC oldalak nem párhuzamosak, legyen f_a ∩ f_c = K.

Megmutatjuk, hogy az f_b, az AC oldalfelező merőlegese is áthalad a K ponton.

Mivel K rajta van f_c-n, ezért KA = KB (felhasználjuk, hogy az oldalfelező merőleges pontjai egyenlő távolságra vannak az oldal végpontjaitól), valamint K rajta van f_a-n, ezért KB = KC.

Ebből következik, hogy KA = KC, azaz K rajta van f_b-n, és K valóban mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van.

A háromszög szögfelezői és háromszögbe írt kör

Tétel: A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja. A kör sugara e pont és bármelyik oldal távolsága.

Bizonyítás:

Legyen f_α az α szög szögfelezője és f_β a β szögé.

f_α és f_β metszik egymást, mert α + β < 180°, legyen f_α ∩ f_β = K.

Megmutatjuk, hogy f_γ, a γ szög szögfelezője is áthalad K-n.

Felhasználjuk, hogy a szögfelező pontjai egyenlő távolságra vannak a szög száraitól.

Mivel K rajta van f_α-n, ezért d(K; b) = d(K; c), K f_β-n is rajta van, ezért d(K; c) = d(K; a).

Ebből következik, hogy d(K; b) = d(K; a), azaz K f_γ -n is rajta van, és valóban mindhárom oldaltól egyenlő távolságra van.

Def.: A háromszöghöz írt kör, olyan kör, ami érinti a háromszög egy oldalát és két oldalegyenesét a háromszög oldalán kívül.

A fenti tételhez hasonlóan bizonyítható, hogy a háromszöghöz írt kör középpontja két külső szög és a velük nem szomszédos belső szög szögfelezőjének metszéspontja.