15. tétel

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között.

Összefüggések a háromszög szögei között

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.

Bizonyítás: Húzzunk párhuzamost C csúcson keresztül c oldallal!

Ekkor az ábra jelöléseit használva d = a, mivel váltószögek, illetve
hasonló indokkal e = b. Mivel d, g és e együtt egy egyenesszöget
alkotnak d + g + e = 180°. Így a megfelelő szögek egyenlősége
miatt a + g + b = 180° is teljesül.

Tétel: A háromszög külső szöge megegyezik a vele nem szomszédos belső szögek összegével. Azaz például: g' = a + b

Bizonyítás: Mivel g' külső szög g' = 180° - g. Az előbbi tételt felhasználva: a + b = 180° - g.

Így g' = 180° - g = a + b.

Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°.

1. Bizonyítás: (a + a') + (b + b') + (g + g') = 180° + 180° + 180° = 540°.

Átrendezve kapjuk: (a + b + g) + (a' + b' + g') = 540°. Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, így a külső szögek összege 540° - 180° = 360°.

2. Bizonyítás: Az előző két tétel felhasználásával:

a' + b' + g' = (b + g) + (a + g) + (a + b) = 2(a + b + g) = 360°.

Összefüggések a háromszög oldalai között

Tétel (háromszög-egyenlőtlenség): A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a háromszög harmadik oldalánál. Azaz például a + b > c.

Bizonyítás: A és B csúcs között a háromszög oldalain két út vezet. Az egyik hosszúsága c (végighaladunk c oldalon), a másiké a + b (C csúcson keresztül, a-n és b-n egyaránt végighaladva jutunk el A-ból B-be). Mivel tudjuk, hogy két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz, c < a + b.

Pitagorasz- tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

Bizonyítás: lásd 25. tétel

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

Tétel: Ha egy háromszögben van két egyenlő oldal, akkor az azokkal szemben fekvő szögek egyenlők.

Bizonyítás: Kössük össze a harmadik oldal felezőpontját az egyenlő oldalak közös csúcsával!

Ekkor a háromszöget két egybevágó háromszögre bontottuk. (Három oldaluk egyenlő.)

Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők, ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Tétel: Ha egy háromszögben van két egyenlő szög, akkor az azokkal szemközti oldalak egyenlők.

Bizonyítás: Húzzuk be a harmadik szög szögfelezőjét! Ekkor a háromszöget két egybevágó háromszögre bontottuk. (Egy oldaluk - a szögfelező háromszögbe eső szakasza - és a rajta fekvő két szög egyenlő.) Egybevágó háromszögek megfelelő oldalai egyenlők, ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Tétel: Ha egy háromszögben van két különböző oldal, akkor a nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van, és ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemközt nagyobb oldal van.

Bizonyítás:

1. rész: Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, azaz .

Először tételezzük fel, hogy a < b. Ekkor b oldalra rámérhetjük a-t az ábrán látható módon,
az így keletkezett metszéspont S, az így kapott SCB háromszög egyenlőszárú. Az SCB háromszög
 alapon fekvő d szöge kisebb, mint b, hiszen BS a háromszög belsejében halad, azaz két szögre
osztja b-t. Tehát: d < b.

Másrészt d külső szög ASB háromszögben. így a külső szögre vonatkozó tétel miatt a < d.
(Ez az eredmény SB szakasz A pontba történő párhuzamos eltolásával is indokolható.)

Azaz: a < d < b.

2. rész: Nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, azaz

Legyen a < b. Ekkor ismét létrehozhatunk egy kisebb egyenlőszárú háromszöget
az ábrán látható módon. Ezután toljuk el a szaggatott szárat párhuzamosan úgy,
hogy a háromszög C csúcsán átmenjen. Így egy nagyobb egyenlőszárú háromszöghöz
 jutunk, amelynek a szárai b hosszúságúak. Mivel az a oldal a nagy egyenlőszárú
háromszögön belül halad, ezért a < b.

 

Szinusztétel: Egy háromszögben bármely két oldal aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszainak arányával. Azaz: a : b : c = sin a : sin b : sin g

Bizonyítás: Két esetet vizsgálunk: hegyesszögű háromszöget és tompaszögűt. (A derékszögű háromszög esetét nem vizsgáljuk, mert ott elég alkalmaznunk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját.)

1. rész: hegyesszögű háromszög esetén

                                                Tekintsük a háromszög két oldalát és az ezekkel szemközti két szögét. Húzzuk meg a harmadik oldalhoz tartozó magasságát.
                                                Így két olyan derékszögű háromszög keletkezik, amelynek befogója m_c. Ezekben a derékszögű háromszögekben felírva az                                                   m_c-vel szemközti szögek szinuszát: , illetve . Ezekből kifejezve m_c-t: , illetve                                                   . Így .

 

2. rész: tompaszögű háromszög esetén

Ismét fejezzük ki az m_c magasságot! , illetve .
Mivel , ismét az  összefüggés adódik.

Innen rendezés után: .