16

16. tétel

Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek.

Húrnégyszögek

Def.: Azokat a konvex (nem hurkolt) négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy kör húrja, húrnégyszögeknek nevezzük.

A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk. Oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köréírt kör középpontjában metszik egymást.

Húrnégyszögek tétele és megfordítása

Tétel: Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180^°.

Bizonyítás: A tétel igazolásához az ábra húrnégyszögének két átellenes csúcsához meghúzzuk a sugarakat. Így az és a a g kerületi szögekhez tartozó középponti szögek is láthatók, ezek nagysága a kerületi és középponti szögek tétele szerint a kétszerese a megfelelő kerületi szögeknek. Tehát: 2a + 2g = 360°, így a + g = 180°.

Bizonyítás: Ennek igazolásához tekintsük az ABCD négyszöget, amelyről tudjuk, hogy a + g = 180°. A négyszög D, A, B csúcspontja meghatároz egy kört, de erről még nem tudjuk, hogy áthalad-e a C csúcson. A körvonal valamely P pontjából a BD átló látószöge 180° - a, mert a BADP húrnégyszög. Mivel a látószögkörív azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy szakasz megadott szög alatt látszik, a DPB körív egyik pontjának kell lennie a C pontnak, mert onnan is g = 180° - a a látószöge a BD átlónak. (A szimmetrikus köríven nem lehet a C pont, mert akkor az ABCD négyszög konkáv lenne, vagy nem alkotna négyszöget.)

A tételt és megfordítását összefoglalva: Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180^°.

A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglalap, a húrtrapéz és a derékszögű deltoid húrnégyszög.

Érintőnégyszögek

Def.: Azokat a konvex négyszögeket, amelynek oldalai egy körnek érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük.

Az érintőnégyszögek belsejébe kört szerkeszthetünk. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást.

Érintőnégyszögek tétele és megfordítása

Tétel: Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.

Bizonyítás:

Tudjuk, hogy egy körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.

Ezért a mellékelt ábra jelöléseit használva:

AE = AH = a; BE = BF = b; CF = CG = c; DH = DG = d.

Így: AD + BC = (a + d) + (b + c) és AB + CD = (a + b) +(c + d)

Tehát: AD + BC = AB + CD (Ezt kellett bizonyítani.)

A tétel megfordítása: Ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.

A tételt és megfordítását összefoglalva: Egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Nevezetes négyszögek közül érintőnégyszög a négyzet, a rombusz és a deltoid. (A húrtrapéz csak abban az esetben érintőnégyszög, ha magassága mértani közepe párhuzamos oldalai hosszának.)

Def.: Húrtrapéznak (szimmetrikus trapéznak) nevezzük az olyan trapézt, amely szimmetrikus a párhuzamos oldalak felezőpontjai által meghatározott egyenesre.

Def.: Deltoidnak nevezzük az olyan négyszöget, melynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú.

Def.: Paralelogrammának nevezzük az olyan négyszöget, melynek szemközti oldalai párhuzamosak.

· Olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú.

Tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor tengelyesen szimmetrikus, ha húrtrapéz, vagy deltoid.

Tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor középpontosan szimmetrikus, ha paralelogramma.

· Annak igazolása, hogy egy háromszög magasságpontjának az egyik oldal egyenesére vonatkozó tükörképe a körülírt körön van.

· Annak igazolása, hogy egy háromszög magasságpontjának az egyik oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe a körülírt körön van.