17. tétel

Sokszögek, szimmetrikus sokszögek.

A sokszög fogalma

Def.: Egymáshoz csatlakozó A₀A₁, A₁A₂, …, A_n-1A_n szakaszok egy A₀A₁…A_n töröttvonalat alkotnak.

Def.: Ha az A₀, A_n pontok azonosak, akkor a töröttvonalat zárt, ellenkező esetben pedig nyílt.

Def.: Ha egy zárt töröttvonal szakaszainak az előírt szakaszokon kívül nincsenek közös pontjai, akkor sokszögvonalnak nevezzük.

Def.: A sokszögvonal a síkot két részre bontja. Az egyik rész a sokszögvonalon belül helyezkedik el, a másik azon kívül. A belső síkrészt sokszögnek (sokszögtartománynak) nevezzük. A sokszögvonalat alkotó szakaszok a sokszög oldalai, a csatlakozási pontok a sokszög csúcsai.[1]

Def.: Egy sokszög konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Ellenkező esetben a sokszög konkáv.

Átlók száma

Def.: Egy sokszög egymással nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszt átlónak nevezzük.

Tétel: n oldalú sokszög átlóinak száma: .

Bizonyítás: A sokszög egy adott csúcsából (n - 3) átló indul ki, mivel az n csúcs közül önmagába és a szomszédos csúcsokba nem vezet átló. Összesen n csúcs van, így összesen n(n - 3) átló „kiindulás” van a sokszögben. Mivel minden átlónak két végpontja van, ez éppen az átlók számának kétszerese.

Összefüggések a sokszögek szögei között

Def.: Ha egy sokszög egy csúcsban találkozó két oldalát a csúcsból induló két félegyenessel egészítünk ki, akkor az általuk közrezárt szögtartományok közül azt, amely tartalmazza a sokszög adott csúcshoz közel eső pontjait a sokszög (belső) szögének nevezzük.

Def.: Azt a szöget, amely a konvex sokszög belső szögét 180°-ra egészíti ki, a konvex sokszög külső szögének nevezzük.

Tétel: n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege .[2]

Bizonyítás: A sokszöget egy adott csúcsából kiinduló (n - 3) átlója (n - 2) háromszögre osztja.
Ezen háromszögek szögeinek összessége éppen a sokszög belső szögeit adja. Mivel a háromszögek
belső szögeinek összege 180°, a sokszög belső szögeinek összege .

Tétel: n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.

Bizonyítás: A sokszög egy csúcsánál elhelyezkedő belső és külső szögek összege 180°. Így a sokszög összes belső és összes külső szöge együtt . Az előző tétel miatt a belső szögek összege , így a külső szögeké .

Szabályos sokszögek

Def.: Egy sokszöget szabályos sokszögnek nevezünk, ha minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú.

Tétel: n oldalú szabályos sokszög egy belső szögének nagysága: .

Tétel: n oldalú szabályos sokszög egy külső szögének nagysága: .

Megjegyzés: Amikor egy feladatban meg kell határozni egy szabályos sokszög valamely tulajdonságát (pl. kerületét, területét, szögeit, köré vagy beírt kör sugarát), akkor általában célszerű az ábrán látható módon ki háromszögekre vágni, és az így keletkező egymással egybevágó egyenlőszárú háromszögekkel számolni.

Szimmetrikus sokszögek

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan tengelyes tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek:

·         a háromszögek közül az egyenlőszárú háromszögek (Az alap felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

·         a négyszögek közül a deltoidok (Az egyik átlóegyenesére szimmetrikus.) és a húrtrapéz (Az alapjai felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

·         a szabályos n-szögek (Az oldalai felezőmerőlegeseire, illetve páros oldalszám esetén a szemközti csúcsok átlóegyeneseire is szimmetrikus. Összesen n db szimmetriatengelye van.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot középpontosan szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek:

·         nincsen középpontosan szimmetrikus háromszög

·         a négyszögek közül a paralelogrammák (Az átlók metszéspontjára szimmetrikus.)

·         a szabályos n-szögek közül a páros oldalszámúak (A köré írt kör középpontjára = a sokszög középpontjára szimmetrikus.)

Forgásszimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot forgásszimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

A középpontos tükrözés az 180°-os forgatás, így az összes középpontosan szimmetrikus sokszög forgásszimmetrikus is. További forgásszimmetrikus sokszögek:

·         a szabályos n-szögek (A középpontja körüli  (k egész szám) forgatásra.)

Alkalmazások

·         Kör kerületének, illetve területének meghatározása a körbe, illetve a kör köré írt szabályos sokszögek kerületének és területének segítségével törtéhet (kétoldali közelítés). Ez egyben módszer a p meghatározására is.

·         Szabályos ötszög szerkesztése - aranymetszés

·         Parkettázások - A sík lefedhető szabályos három- négy, illetve hatszögekkel.

·         Ezek az alakzatok széleskörűen használhatók formatervezésnél, művészetekben stb.