18. tétel

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban), kerületi szög, középponti szög.

A kör és részei

Def.: Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmazát a síkon körnek (körvonalnak) nevezzük.

Néhány elnevezés:[1]

Körív: A kör(vonala)t két pontja két körívre bontja.

Körlap: Adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb/kisebb távolságra levő pontok halmazát a síkon zárt/nyílt körlapnak nevezzük.

Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja.

Körgyűrű: A sík azon pontjainak halmaza melyek két egyközepű
(koncentrikus) körvonal között helyezkednek el. (Egy adott ponttól
 r-nél nem kisebb és R-nél nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a síkon.)

 

 

 

Kör és egyenes kölcsönös helyzetei

1. Ha a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja:

2. Ha a körnek és az egyenesnek egy metszéspontja van:

Érintő: A kör érintője olyan egyenes, amelynek csak egy közös pontja van a körrel és az összes többi pontja külső pont.

3. Ha a körnek és az egyenesnek két metszéspontja van:

Szelő: Olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.

Húr: A szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.

Körszelet: A körlapot egy szelője két körszeletre bontja.

Tétel: A kört érintő egyenes merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.

Bizonyítás: Indirekt.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O pontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OTE háromszögnek T-nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögnek az OE = r átfogója, az OT < r befogója lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.

Tétel: Körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.

Bizonyítás:

Az OQP és az ORP háromszögek egybevágóak, mivel

OR = OQ = r, OP közös és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő (derékszög az előző tétel miatt)

A két háromszög egybevágósága miatt RP = QP, vagyis a külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.

Kerületi és középponti szögek

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a kör középpontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó középponti szögnek nevezzük.

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a körvonal AB köríven kívül eső pontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó kerületi szögnek nevezzük. Ha a szög csúcsa A (B), szárai AB félegyenes (BA félegyenes), illetve az A-beli (B-beli) érintője a körnek, akkor érintőszárú kerületi szögről beszélünk.

Tétel (A kerületi és középponti szögek tétele): Adott körívhez tartozó középponti szög az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szög kétszerese.

Bizonyítás: A kerületi szöget többféle módon vehetjük fel, épp ezért az egyes esetekre külön bizonyítjuk a tételt.

1. eset: A kerületi szög egyik szára átmegy a kör középpontján.

OP = OB = r tehát az OBP háromszög egyenlő szárú.

Az AOB szög külső szög, O-nál, ezért ω = 2α.

2. eset: A PO egyenes az α szöget két részre bontja: α₁ + α₂ = α

OA = OP = OB = r ezért AOP és BOP háromszög is egyenlő szárú.

O-nál lévő két külső szög 2α₁ és 2α₂, ezért ω = 2α₁ + 2α₂ = 2α

Abban az esetben amikor ω homorúszög, ugyanez az eset.

3. eset: A PO egyenessel α₁ és α₂ szöget hozunk létre: α₁ - α₂ = α

Az α₁ kerületi szög az AC köríven nyugszik, középponti szöge 2α₁.

Az α₂ kerületi szög BC köríven, középponti szöge 2α₂.

Így az AB ívhez tartözó középponti szög: ω = 2α₁ - 2α₂ = 2α

4. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög hegyesszög.)

AOB háromszög egyenlő szárú (oldal: r)

Szimmetriatengelye OF egyenes, felezi az ω középponti szöget.

Az AOF szög szögszárai merőlegesek α-ra, ezért AOF szög = α,

ezért ω = 2α.

5. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög tompaszög.)

A kérdéses vastagvonalas körív helyett nézzük a vékonyvonalas AB körívet. Az ehhez tartozó kerületi szög: α' = 180º - α, a középponti szög: 2α'.

Így az α szöghöz tartozó középponti szög: ω = 360º - 2(180º - α) = 2α