19. tétel

Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon.

Vektorok

Def.: Az irányított szakaszt vektornak nevezzük.   Jelölése: FK = k              

Megjegyzés: Egy vektor jellemző adatai: a hossza és az iránya.

Def.: A vektor hosszát a vektor abszolútértékének nevezzük. Jelölése:│FK│=│k│

Def.: Két vektor egyenlő, ha abszolútértékeik és irányuk megegyezik.  a = b

Def.: Két vektor egymás ellentettje, ha abszolútértékük megegyezik, és irányuk ellentétes. Jel: -a

Def.: Ha egy vektor abszolútértéke 0, akkor azt nullvektornak nevezzük. Jele: 0

Megállapodás szerint a 0 iránya tetszőleges.

Def.: Az egységhosszúságú vektort egységvektornak nevezzük.

Műveletek vektorokkal

1. Vektorok  összeadása

Def.: Adott két vektor. Az egyik vektor végpontjából indítjuk a másik vektort. Az első kezdőpontjából a második végpontjába mutató vektort a két vektor összegvektorának nevezzük.

Megjegyzés: Az összegvektor előállítható láncszabállyal és paralelogramma módszerrel.

·        Kommutatív művelet: a + b = b + a

·         SHAPE  \* MERGEFORMAT Asszociatív művelet: (a + b) + c = a + (b + c)

Több vektor összeadása esetén először két vektort összegzünk, majd az összeghez adjuk hozzá a következő összeadandót.

2. Két vektor különbsége

Def.: Az a - b különbségvektorán az a + (-b) összegvektort értjük, azaz azt a vektort, amelyet úgy kapunk, hogy a-hoz hozzáadjuk b ellentettjét.

·        A kivonás nem kommutatív, és nem asszociatív művelet.

3. Vektorok szorzása számmal (skalárral)

Def.: Adott egy a vektor és egy λ szám. Az a vektor λ számszorosán a következő vektort értjük:

v     Ha a = 0 vagy λ = 0, akkor λa = 0

v     Ha a ≠ 0 és λ ≠ 0, akkor  hosszúságú vektort kapunk, melynek iránya:

·        λ > 0 esetén a-ral egyező

·        λ < 0 esetén a-ral ellentétes

·        aa + ba = (a + b)a

·        a(ba) = b(aa) = aba

Def.: Adott a és b vektor, valamint az a és b szám. A velük képzett v = aa + bb vektort az a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

4. Két vektor skaláris szorzata

Def.: Adott a és b vektorok skaláris szorzata a két vektor hosszának és közrezárt szögük koszinuszának szorzata.

Azaz: ,

Megjegyzés: A skaláris szorzat tehát egy valós szám!

·        Kommutatív művelet:  

·        Nem asszociatív művelet:

·        Számmal való szorzásra asszociatív:

·        Összeadásra nézve disztributív

Tétel: Egy vektor abszolútértéke megegyezik önmagával vett skaláris szorzatának négyzetgyökével, azaz

Tétel: Két vektor skaláris szorzata, akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra.

Vektorok a koordinátasíkon

Def.: Egy rögzített pontból, vonatkoztatási pontból induló vektorokat helyvektoroknak nevezzük.

Def.: Szabadvektornak nevezzük az egy adott helyvektorral azonos nagyságú és irányú vektort, amely azonban nem a rögzített vonatkoztatási pontból indul.

Egy helyvektor végtelen sok szabadvektorral egyenlő, de a végtelen sok szabadvektorhoz egyértelműen csak egy velük egyenlő helyvektor tartozik.

A vektorokat a koordinátasíkon is elhelyezhetjük. Ekkor a vonatkoztatási pontnak az origót tekintjük.

Vegyük fel az (1; 0) és a (0; 1) pontokba mutató egységvektorokat, melyeket i-vel és j-vel jelölünk.
Ekkor bármely origóközéppontú, a koordinátasíkon elhelyezkedő helyvektort elő tudunk állítani az i és j
vektorok lineáris kombinációjaként.

Pl. Az origóból az A(x; y) pontba mutató a helyvektor előáll a = xi + yj alakban. Az ilyen felírásban az xi
az i-ral, yj pedig a j-ral párhuzamos összetevője az a vektornak. (Az a vektor koordinátáin a továbbiakban
a végpontjának koordinátáit értjük.)
 

Tétel: Vektorok összegének koordinátái az egyes vektorok megfelelő koordinátáinak összege adja. Azaz: a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j

Tétel: Vektorok különbségének koordinátáit az egyes vektorok megfelelő koordinátáinak különbsége adja. Azaz: a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j

Tétel: Egy vektor skalárszorosának koordinátáit a vektor koordinátáinak adott skalárral való szorzásával kapjuk. Azaz: λa = λxi + λyj

Tétel: Bármely vektor abszolútértéke a koordinátáinak négyzetösszegéből vont négyzetgyök. Azaz:

Bizonyítás: Ha az a vektor nem illeszkedik egyik koordinátatengelyre sem, akkor a keletkezett derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz tételt kapjuk a fenti összefüggést.

Ez az összefüggés akkor is érvényes, ha a vektor illeszkedik valamelyik koordinátatengelyre, azaz valamelyik koordináta 0.

Tétel: Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának összege. Azaz: ab = x₁x₂ + y₁y₂

Tétel: Egy vektor 90°-os elforgatásakor az eredeti vektor koordinátái felcserélődnek,
és az egyik koordináta az ellentettjére változik.

Adott az a(x; y) helyvektor

·        +90°-os elforgatottjának koordinátái a_90° (-y; x).

·        -90°-os elforgatottjának koordinátái a-_90° (y; -x).

Szakaszok a koordinátasíkon

Tétel: Az AB szakasz hossza, ha A(x₁; y₁) és B(x₂; y₂): .

Bizonyítás: Az A és B pontokba mutató helyvektorok: a(x₁; y₁) és b(x₂; y₂). A két pontot összekötő szakasz hossza egyenlő az AB = b - a vektor hosszával.A vektorok különbségére vonatkozó összefüggés miatt: b - a(x₂ - x₁; y₂ - y₁). A vektorok hosszára vonatkozó összefüggést felhasználva kapjuk a tételben szereplő eredményt.

Tétel: AB szakaszt a P pont m : n arányban osztja. A P pont koordinátái: P, ahol A(x₁; y₁) és B(x₂; y₂). A P osztópontba mutató helyvektor: , ahol a és b az A illetve B pontba mutató helyvektorok.

Bizonyítás:

p = a +  = a +  =

Következmény: Ezek alapján már könnyen bizonyítható a szakasz felezőpontjára vonatkozó képlet:

Tétel: AB szakasz F felezőpontjának koordinátái F, ahol A(x₁; y₁) és B(x₂; y₂). Az F pontba mutató helyvektor:  ahol a és b az A illetve B pontba mutató helyvektorok.

Alkalmazások

Fizikában

·        A fizikában előforduló mennyiségek gyakorta vektor mennyiségek. Ezek általában azok a mennyiségek, amelyek valamilyen módon kapcsolatban állnak az elmozdulással (hisz az elmozdulásnak van hossza és iránya is) Ilyen mennyiségek például a sebesség, a gyorsulás, vagy a gyakorta előkerülő erő. Konkrét példa: Egy pontszerű testre ható erőket vektorokként kezeljük. Így összeadásukkal meghatározhatjuk a pontszerű testre ható eredőerő irányát és nagyságát.

Matematikában

·        koszinusztétel vektoros bizonyítása

·        háromszög súlypontjának koordinátáinak maghatározásakor felhasználjuk az osztópontokról tanultakat

·        a vektorok széleskörűen alkalmazhatók egyéb geometriai problémák megoldása során is