2. tétel

Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága

1. Nevezetes számhalmazok

1. Természetes számok (N)

- a pozitív egész számok és a 0

- zárt az összeadásra és a szorzásra nézve (egy halmaz zárt egy műveletre nézve, ha a halmaz elemein elvégezve a műveletet, az eredmény is eleme a halmaznak)

- a természetes számok halmazára vonatkozó axiómák (Peano-axiómák)[1]

1. A 0 természetes szám.

2. Minden természetes számra van rákövetkező.

3. Ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a két szám is egyenlő.

4. A 0 semminek sem a rákövetkezője.

5. Ha egy halmaz tartalmazza a 0-t, és minden szám rákövetkezőjét, akkor az összes természetes számot tartalmazza.

2. Egész számok (Z)

- zárt az összeadásra, a szorzásra és a kivonásra nézve

3. Racionális számok (Q)

- Def.: Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük.

- zárt mind a négy alapműveletre nézve

- Tétel: Egy szám akkor és csak akkor racionális szám, ha tizedestört-alakja véges, vagy végtelen szakaszos.

- Tétel: Bármely két racionális szám között található racionális szám.

Bizonyítás: Vegyünk két tetszőleges racionális számot (a és b, )! Vegyük ezeknek a számtani közepét ! Mivel , ezért . Így, ha is racionális, akkor találtunk a és b között racionális számot. Mivel a racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre, két racionális szám számtani közepe is racionális. Q. e. d

4. Irracionális számok (Q*)

- Def.: Azokat a számokat, amelyek nem állnak elő két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.

- Tétel: Egy szám akkor és csak akkor irracionális szám, ha tizedestört-alakja végtelen, nem szakaszos.

- Tétel: A irracionális szám. (A bizonyítás megtalálható a 25. tételben)

- Tétel: Ha egy természetes szám nem négyzetszám, akkor a négyzetgyöke irracionális szám.

Bizonyítás: hasonlóan az előző tétel bizonyításához

- Az irracionális számok halmaza nem zárt egyik alapműveletre sem. (pl. )

- Tétel: Egy irracionális szám és egy 0-tól különböző racionális szám összege, különbsége, szorzata, hányadosa mindig irracionális.

Egy konkrét példára bizonyítom: Tétel: A irracionális.

Bizonyítás: Indirekt – Tegyük fel, hogy a racionális. Ekkor a harmada is racionális, mert a racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre. Így a is racionális. A irracionális szám, így a sem lehet racionális. Ellentmondásba ütköztünk. Q.e.d.

5. Valós számok (R)

- a racionális és az irracionális számok halmazának uniója

- zárt mind a négy alapműveletre nézve

- a valós számok halmazának műveleti tulajdonságai:

kommutativitás:

asszociativitás:

disztributivitás:

Megjegyzés: Ezek a tulajdonságok a többi számhalmazban is teljesülnek. (A számhalmazok bővítésekor a műveleti tulajdonságok „megmaradását” végig megköveteltük.)

A valós számok halmazának részhalmazainak Venn-diagramja:

2. Halmazok számossága

Def.: Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük.

Jelölés: A H halmaz számossága:

Def.: Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés: Adott két halmaz, A és B. Ha az A halmaz elemeit hozzárendeljük a B halmaz elemeihez úgy, hogy

1. az A halmaz minden eleméhez pontosan egy elemet rendelünk,

2. minden B halmazból való elemet hozzárendeltünk valamely A-beli elemhez,

3. semelyik B halmazból való elemet nem rendeltük több A-beli elemhez,

akkor a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.

Def.: Két halmazt ekvivalensnek nevezünk, ha létezik köztük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.

Tétel: A halmazok ekvivalenciája reflexív (egy halmaz ekvivalens önmagával), tranzitív (ha A ekvivalens B-vel, és B ekvivalens C-vel, akkor A is ekvivalens C-vel) és szimmetrikus (ha A ekvivalens B-vel, akkor B is ekvivalens A-val).

Az ilyen tulajdonságú relációkat ekvivalencia relációnak nevezzük. (Pl. egyenlőség)

Def.: Ha két halmaz ekvivalens, akkor a számosságuk egyenlő.

Def.: A természetes számok halmazának számosságát megszámlálhatóan végtelen számosságnak nevezzük.

Def.: A valós számok halmazának számosságát kontinuum számosságnak nevezzük.

Tétel: Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen.

Bizonyítás: Létrehozunk N és Z között egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést. Rendeljük Z minden nemnegatív eleméhez a kétszeresét! Rendeljük Z minden negatív m eleméhez a -et!

Vizsgáljuk meg, hogy a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés feltételei teljesülnek-e!

1. biztosan teljesül. 2. és 3. azért teljesül, mert minden nemnegatív páros számhoz hozzárendeltük a felét (és ebből pontosan 1 van), és minden pozitív p páratlan számot hozzárendeltünk -höz (ebből is pontosan 1 van). Azaz, a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Így N és Z számossága egyenlő. Q. e. d.

Tétel: A racionális számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen.

A bizonyítás elve: Felírjuk a pozitív racionális számokat a következő módon egy táblázatba:

Majd átlósan sorba rendezzük őket (amelyik már egy másik alakban szerepelt, azt nem számoljuk (ezeket tettem zárójelbe).
Így az első pár elem: Ezzel létrehoztunk egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést a természetes számok

halmaza és a pozitív racionális számok halmaza között. R és N között ezek után már könnyű kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést
létrehozni, például azon az elven, ahogyan ezt Z és N között tettük.

Tétel: Megszámlálhatóan sok megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz uniójának számossága megszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Bármely két nem 0 hosszú szakasz pontjainak számossága egyenlő (kontinuum számosságú).

A bizonyítás elve: Középpontos hasonlósággal hozzunk létre kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést a szakaszok pontjai között.

Tétel: Bármely két zárt intervallum számossága egyenlő (kontinuum számosságú).

Rendezés a számosságok között: Az A halmaz számossága nem nagyobb a B halmaz számosságánál, ha van a B halmaznak olyan részhalmaza, ami A-val ekvivalens.
Az A halmaz számossága kisebb a B halmaz számosságánál, ha nem nagyobb nála és nem egyenlő vele.

Tétel: Egy kontinuum végtelen számosságú halmaz számossága nagyobb, mint egy megszámlálhatóan végtelen számosságúé.

3. Alkalmazások

1. Komplementer-módszer: Adott egy A alaphalmaz, és egy H halmaz, akkor .

Ezt használjuk a kombinatorikában, amikor a kedvező esetek száma helyett a kedvezőtlen esetek számát számoljuk ki, majd úgy kapjuk meg a kedvező esetek számát, hogy levonjuk az összes esetből a kedvezőtlen esetek számát.

2. Logikai szita:

Két halmaz esetén:

Három halmaz esetén:

Alkalmazása: pl. számelméletben.

Pl.: Meg szeretnénk számolni, hogy hány olyan 200-nál kisebb pozitív egész van, amely sem 2-vel, sem 5-tel nem osztható. (Válasz: 200-nál kisebb pozitív egész számok száma - páros számok száma - öttel oszthatók száma + a páros számok és az öttel osztható számok metszete (a 10-zel osztható számok száma) = 199 - 99 - 39 + 19 = 80)

3. Def: Algebrai számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek gyökei valamely egész együtthatós polinomnak. (pl. a algebrai szám, mert gyöke az egész együtthatós polinomnak).

Tétel: Van olyan valós szám, ami nem algebrai szám.

Bizonyítás elve: Könnyen belátható, hogy megszámlálhatóan sok egész együtthatós polinom van, azaz ezek gyökeinek száma is megszámlálhatóan végtelen. Mivel, a kontinuum végtelen számosság nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelen számosság, ezért kell, hogy legyenek nem algebrai valós számok.