20. tétel

Egyenesek a koordinátasíkon. A lineáris függvények és az egyenes. Elsőfokú egyenlőtlenségek.

Egyenesek a koordinátasíkon

Def.: Az egyenes egyenlete olyan egyenlet, amelynek azoknak és csak azoknak a pontoknak a koordinátái a megoldásai, amelyek az egyenesen vannak.

Def.: Egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a nullvektortól különböző bármely vektor.

Jele: n, n0

Def.: Egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos és egyállású, a nullvektortól különböző bármely vektor.

Jele: v, v0

Def.: Az egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív irány által bezárt - 90° < α  90° szög. Az irányszög tangensét (ha létezik, azaz α90° ) az egyenes iránytangensének nevezzük.

Az iránytangens jele: m vagy a.

Az iránytangens egyéb elnevezései: az egyenes meredeksége, az egyenes iránytényezője.

Tétel: Adott P₀(x₀; y₀) ponton áthaladó n(A; B) (n0) normálvektorú egyenes egyenlete:

Ax + By = Ax₀ + By₀

Bizonyítás: Adott a P₀(x₀; y₀) pont, valamint az n(A; B) normálvektor. A P₀-ba vezető helyvektor legyen r₀(x₀; y₀). Az egyenes tetszőleges P(x; y) pontjába az r(x; y) helyvektor mutat.

P akkor és csak akkor van rajta az egyenesen, ha a vektor merőleges az egyenes normálvektorára, tehát a két vektor skaláris szorzata 0.

Tehát:

 = 0

Mivel  = r - r₀, az

(r - r₀) =0

vektoregyenletet kaptuk.

A két vektor koordinátái:         r - r₀(x - x₀; y - y₀)

                                               n(A; B)

Két vektort skalárisan úgy is szorozhatunk, hogy a megfelelő koordinátáik szorzatát összegezzük:

(r - r₀) = A(x - x₀) + B(y - y₀)

A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0

Ax + By = Ax₀ + By₀

Tétel: Adott P₀(x₀; y₀) ponton áthaladó v(v₁; v₂) (v0) irányvektorú egyenes egyenlete:

v₂x - v₁y = v₂x₀ - v₁y₀

Tétel: A P₁(x₁; y₁) és P₂(x₂; y₂) pontokon áthaladó egyenes egyenlete:

(y₂ - y₁)x - (x₂ - x₁)y = (y₂- y₁)x₁ - (x₂ - x₁)y₁

Átrendezve:                              (y₂ - y₁)(x - x₁) = (x₂ - x₁)(y - y₁)

Tétel: Az adott P₀(x₀; y₀) ponton áthaladó m iránytangensű egyenes egyenlete:

y - y₀ = m(x - x₀)

Tétel: Az egyenes egyenlete kétismeretlenes, elsőfokú egyenlet, melynek általános, 0-ra rendezett alakja: Ax + By + C = 0, ahol A és B közül legalább az egyik együttható nem 0, tehát A² + B²0.

Ennek megfordítása is igaz, tehát bármely ilyen egyenlet egyenes egyenlete.

Az egyenes egyenletéből leolvashatóak az egyenes jellemző adatai:

-        normálvektorai: pl.: n₁(A; B), n₂(-A; -B), illetve ezekkel párhuzamos vektorok

-        irányvektorai: pl.: v₁(B; -A), v₂(-B; A), illetve ezekkel párhuzamos vektorok

-        meredeksége: m = -

Def.: Az egyenes normálegyenlete:

Két egyenes metszéspontjának meghatározása

Két egyenes metszéspontja olyan (x; y) koordinátájú pont, amely illeszkedik mindkét egyenesre. Ezért a metszéspontnak megfelelő (x; y) számpár mindkét egyenletet igazzá teszi, azaz a két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

Két egyenes hajlásszögének meghatározása

Tétel:  A v_e(v_1e; v_2e) és v₂(v_1f;v_2f) irányvektorú egyenesek hajlásszögének koszinusza:

Bizonyítás: A két egyenes közrezárt szöge az irányvektoraik közrezárt szöge, vagy ha ez a szög nagyobb, mint 90°, akkor az ezen szöget 180°-ra kiegészítő szög. A két vektor szögét skaláris szorzatuk kétféle meghatározási módjából megkaphatjuk:

, illetve

Innen a vektorok hosszával történő osztással adódik a fenti eredmény.

Két egyenes || (e || f)                    irányvektoruk párhuzamos (v_e =v_f                 \ )

                                                     normálvektoruk párhuzamos (n_e =n_f  \ )

                                                     iránytangensük egyenlő (m_e = m_f)

                                                     irányszögük egyenlő (a_e = a_f)

Két egyenes merőleges              irányvektoruk merőleges ()

                                                     normálvektoruk merőleges ()

                                                     v_e = n_f          \

                                                     m_e = -           

                                                     °

Pont és egyenes távolsága

Tétel: A P₀(x₀; y₀) pont és az Ax + By + C = 0 egyenletű egyenes távolsága: .

Két egyenes szögfelezője

1. módszer

Szögfelező definíciója: azon pontok összessége a síkban, melyek a szög két szárától egyenlő távolságra vannak. Ezért a szögfelező összes P (x; y) pontjára fennáll, hogy , azaz az előbbi tételt felhasználva: .

Az abszolút érték kétféle felbontásával megkapjuk a két egymásra merőleges szögfelező egyenes
egyenletét.

2. módszer

Mindkét egyenesnek fel kell írnunk az egységhosszúságú, irányvektorát (e_e, e_f). A két egységvektor
összege lesz az egyik szögfelező (f₁) irányvektora, és ebből az irányvektorból és a két egyenes
metszéspontjából (M) meghatározható az egyik szögfelező egyenlete. A másik (f₂) ezzel merőleges,
tehát f₁ irányvektora lesz f₂ normálvektora, és ebből és M-ből meghatározható a másik szögfelező
egyenlete is.

A lineáris függvények grafikonja és az egyenes:

Az elsőfokú, abszolút értéket nem tartalmazó lineáris függvények képe egyenes. Minden lineáris függvény hozzárendelési szabályát könnyen átalakíthatjuk egy egyenes egyenletévé, ha f(x) helyére y-t írunk.

Pl.: f(x): x x + 3 -ból lesz y = x + 3, ami általános alakba hozva: -x + y - 3 = 0.

Viszont csak azok az egyenesek írhatók fel függvényként, amelyeknek van iránytangense, tehát nem párhuzamosak az y tengellyel, mert egy függvényben egy helyhez csak egy érték tartozhat.

Elsőfokú egyenlőtlenségek

Az elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása hasonló az egyenletekéhez, csak arra kell figyelni, hogy negatívval való szorzás után megfordul, ismeretlennel való szorzás után megfordulhat (esetszétválasztás) a relációs jel.

Alkalmazások

·        lineáris programozás:

Főként azzal foglalkozik, hogy lehet korlátozott forrásokat különböző tevékenységek között optimálisan, egy adott célnak megfelelően szétosztani.

Példa: Van adott mennyiségű kenyerünk, sonkánk, és szalámink. Az a kérdés, hogy hány sonkás és hány szalámis szendvicset csináljunk, hogy pl.: a szendvicsek együttes száma maximális legyen.

(A matematika egyik területe, a programozás szó csupán a tervezésre utal.)

·        szélsőérték problémák megoldása

·        problémák megoldása geometriai valószínűségi mezőben

·        geometriai feladatok megoldása (koordinátarendszerbe helyezzük az alakzatokat)