22. tétel

Szögfüggvények értelmezése a valós számhalmazon, ezek tulajdonságai; kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között.

Def.: Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i egységvektortól α szöggel elforgatott e egységvektor ordinátája (y koordinátája).

Def.: Az α szög koszinusza pedig az e egységvektor abszcisszája (x koordinátája)

Def.: Az α szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa.

Azaz: , ha cos α ≠ 0, azaz α ≠  + kπ, kZ

Másik def.: Az α szög tangense annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű e egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.

Tétel: A tangens két definíciója ekvivalens.

Bizonyítás:

Először tegyük fel, hogy ! Az ábrákon felfedezhető két hasonló (a szögű)

derékszögű háromszög. Az első az, amelyben sin α és cos α a befogók,
a második pedig amelyben tan α és 1. Így: .

Ugyanígy bizonyítható az összefüggés a többi síknegyed esetében is,
csak külön kell vizsgálni a tangens előjelét. (A 2. és 4. síknegyedben a
tangens értéke mindkét definíció értelmében negatív.)

Ha α = 0 vagy π, akkor a tangens mindkét definíció értelmében 0.

Ha pedig a =  vagy , akkor a tangens egyik definíció szerint sincs értelmezve.

Def.: Az α szög kotangense a szög koszinuszának és szinuszának hányadosa

Azaz:  ha sin α ≠ 0, azaz α ≠ kπ, kZ

Másik def.: Az α szög kotangense annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű e egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.

Tétel: A kotangens két definíciója ekvivalens.

Bizonyítás: Az előző tételéhez hasonlóan.

Szögfüggvények és tulajdonságaik

Def.: Az f(x) = sin x függvényt szinuszfüggvénynek nevezzük.

Def.: Az f(x) = cos x függvényt koszinuszfüggvénynek nevezzük

Def.: Az f(x) = tg x függvényt tangensfüggvénynek nevezzük

Def.: Az f(x) = ctg x függvényt kotangensfüggvénynek nevezzük

Kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között

Tétel: sin²α + cos²α = 1

Bizonyítás:

A szinusz és koszinusz definíciójából következik, hogy e egységvektor x koordinátája cos α, y koordinátája pedig sin α. Így az e egységvektor hossza: . Innen négyzetreemeléssel adódik a tétel.

További azonosságok[1]: , ha , kZ; ; ;  és .

Megjegyzés: Az összefüggések könnyedén leolvashatók a függvények grafikonjáról. Például:

Alkalmazások

Matematikában

·         hiányzó adatok kiszámítása derékszögű háromszögekben

·         háromszög területe: , tetszőlege négyszög területe:  (e és f a négyszög átlóinak hossza, a az átlók által közrezárt szög)

·         szinusz és koszinusz tétel

Fizikában

·         a rezgőmozgás kinematikai leírása során a pillanatnyi kitérés x = A sin(ώt) alakban adható meg, ahol x a pillanatnyi kitérés, A az amplitúdó, ώ a körfrekvencia és t az idő

·         lejtőn mozgó testre ható erők meghatározása

Egyéb

·         földmérésben, térképészetben távolság mérése, magasság mérése