25.tétel
Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
Tétel és megfordítása
tétel = implikáció (A→B = Ha A, akkor B.)
Ha egy sokszög háromszög, akkor belső szögeinek összege 180°.
Ha egy szám tízes számrendszerben felírt alakjában a számjegyek összege osztható 9-cel, akkor a szám is osztható 9-cel.
tétel megfordítása: a feltétel és a következmény felcserélése ( B→A = Ha B, akkor A.)
megfordítás is igaz:
tétel: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor a szemben lévő szögeinek összege 180°.
megfordítása: Ha egy négyszög szemben lévő szögeinek összege 180°, akkor húrnégyszög.
olyan tétel, ahol a megfordítás nem igaz:
tétel: Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal.-IGAZ
megfordítás: Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel.-HAMIS
Szükséges és elégséges feltétel
minden implikáció (=tétel) magában foglal szükséges és elégséges feltételeket
A→B
A elégséges feltétele B-nek
B szükséges feltétele A-nak
magyarázat (az itt következő rész csak a megértést könnyíti, feleletben nem kell elmondani!)
Ha mindenkinek ötös lesz a matek emelt szintűje, akkor Zsófinak is ötös lesz.
DE: az, hogy Zsófinak ötös lett nem elég, ahhoz hogy mindenki tudja, hogy az övé ötös lett
ˇ
az, hogy mindenkinek ötös lett elég ahhoz, hogy Zsófi
tudja, az övé is ötös lett
DE:az, hogy mindenkinek ötös legyen nem szükséges ahhoz, hogy Zsófié is
ötös lehessen
|
|
A |
B |
A→B |
|
1. |
i |
i |
i |
|
2. |
i |
h |
h |
|
3. |
h |
i |
i |
|
4. |
h |
h |
i |
mivel tudjuk, hogy A→B igaz, ezért a második sor nem lehetséges
ˇ az, hogy B igaz, szükséges ahhoz, hogy tudjuk A igaz (=nincs olyan sor, hogy A igaz, B hamis)
példák:
6-tal való oszthatóság elégséges feltétele a 3-mal való oszthatóságnak. (nem szükséges:15)
3-mal való oszthatóság szükséges feltétele a 6-tal való oszthatóságnak (nem elégséges:15)
deriválhatóság elégséges feltétele a folytonosságnak (nem szükséges: abszolútérték-függvény)
folytonosság szükséges feltétele a deriválhatóságnak (nem elégséges: abszolútérték-függvény)
szükséges és elégséges feltétel:
A és B állítás ekvivalens, vagyis egyenértékű = AóB = A akkor és csak akkor, ha B.
o 4x2 = 4x - 1 ó 4x2 + 1 = 4x ó 4x2 - 4x + 1 = 0 ó (2x - 1)2 = 0 ó x = 0.5
ahhoz, hogy 4x2 = 4x - 1 legyen:
elég, hogy tudjuk x = 0.5
szükséges, hogy x = 0.5 legyen (ha nem lenne annyi, nem lehetne 4x2 = 4x - 1)
ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal:
elég, hogy osztható 3-mal és 2-vel
szükséges, hogy osztható legyen 3-mal és 2-vel
Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában
(Az itt következő bizonyítási módszerek mindegyikét be kell mutatni, de csak az egyiknél kell tételt bizonyítani. Ennél a tételnél nem kell külön alkalmazást említeni, ezt váltja ki, hogy egy bizonyítási módszert alkalmazásban is bemutatsz!)
tételek bizonyítására különböző módszereket használunk
o direkt
o indirekt
o teljes indukció
o skatulya-elv
DIREKT - Igaz állítás(ok)ból helyes következtetéseket levonva jutunk el a bizonyítandó állításhoz.
Pitagorasz-tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó hosszának négyzetének összege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével.
Bizonyítás:
T = a2 + b2 + 2ab (= (a + b)2) Mivel a és b derékszöget zár be, ezért a keletkező háromszögek az eredetivel egybevágóak, vagyis a harmadik oldal c.
A c oldalú négyszög rombusz, mert minden oldala egyenlő.
A rombusz minden szögét α+β egészíti ki 180°-ra. α+β az eredeti háromszög miatt 90°. Tehát a rombusz minden szöge derékszög, vagyis a négyszög négyzet, emiatt területe c2.
A háromszögek terülte 4ab/2=2ab
ilyen bizonyítás még: Thalesz-tétel bizonyítása, számtani-mértani közép közti összefüggés bizonyítása
INDIREKT - A bizonyítandó állítás tagadásából helyes következtetéseket levonva lehetetlen következmény(ek)hez jutunk. Emiatt a bizonyítandó állítás igaz, hiszen tagadása hamis.
Tétel: 
irracionális
szám.
Bizonyítás: indirekt feltétel:
racionális
szám
A racionális számok felírhatóak két egész szám
hányadosaként, tehát: 
,
ahol p és q pozitív egész számok. Válasszuk azt a p-q
párost, amelyek relatív prímek, tehát (p; q) = 1
/.q
/↑2, mert az előjelek egyeznek (pozitív a két oldal)
Mivel p és q egész számok, és az egyenlet bal oldala osztható
2-vel, ezért a jobb oldala is. Tehát: p2 osztható 2-vel
ó p osztható 2-vel
ó p2 osztható
4-gyel.
Az egyenlet jobb oldala osztható 4-gyel (mivel q egész), ezért baloldala is osztható 4-gyel.
2q2 osztható 4-gyel ó q2 osztható 2-vel ó q osztható 2-vel
Tehát p és q is osztható 2-vel, ez viszont lehetetlen, mert p és q az eredeti feltétel szerint relatív prímek. Emiatt az indirekt feltétel hamis, vagyis az eredeti állítás igaz.
ilyen bizonyítás még: végtelen sok prímszám van
TELJES INDUKCIÓ - Egy sorozat elemeire vonatkozó törvényszerűség bizonyítása olymódon, hogy először belátjuk, hogy a sorozat első elemére igaz az állítás, majd azt, hogy ha igaz a sorozat n-dik elemére, akkor igaz az n+1-dik elemére is.
Az első n köbszám összege
Bizonyítás:
1. n =
1-re igaz: 
(mindkét
oldal 1)
2. ha igaz n-re, akkor igaz n+1-re is:
ilyen bizonyítás még: első n négyzetszám összege, véges halmaz részhalmazainak száma
SKATULYA-ELV - Ha n pozitív egész számú skatulyába kn (k pozitív egész) dolognál többet kell szétosztani, akkor szükségszerűen legalább az egyik skatulyában legalább k+1 dolog lesz.
4 pozitív egész szám között van 2, amelyeknek a különbsége osztható 3-mal.
Bizonyítás:
Két szám különbsége akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha azonos maradékot adnak 3-mal osztva. Mivel 3-mal osztva a pozitív egész számok 3-féle maradékot adhatnak (0, 1 ,2), ezért négy szám között a skatulya-elv szerint lesz két olyan amelyek egyforma maradékot adnak. Ezek különbsége osztható lesz 3-mal.
ilyen bizonyítás még: egyszerű gráfban van két azonos fokszámú csúcs