3. tétel

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

Definíciók

Def.: Azon pontok halmazát a síkban, melyek két adott ponttól egyenlő távolságra vannak, szakaszfelező merőlegesnek nevezzük.

Def.: Azon pontok halmazát a térben, melyek két adott ponttól egyenlő távolságra vannak, szakaszfelező merőleges síknak nevezzük.

Def.: Adott egy szög. Azon pontok halmazát a szögtartományban, amelyek azonos távolságra vannak a szög száraitól szögfelezőnek nevezzük. (Ez egy félegyenes.)[1]

Def.: Azon pontok halmazát a síkban, melyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak, körnek nevezzük.

Def.: Azon pontok halmazát a térben, melyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak, gömbnek nevezzük.

Def.: A parabola azon pontok halmaza a síkon, melyek egy adott egyenestől (vezéregyenes) és egy arra nem illeszkedő rögzített ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.

Elnevezések:

F - fókuszpont

v - vezéregyenes

Def.: Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, melyeknek két rögzített ponttól (fókuszpontok) vett távolságainak összege a két pont távolságánál nagyobb állandó.

Elnevezések:

F₁ és F₂ - fókuszpontok, távolságuk 2c

AB - az ellipszis nagytengelye, hossza 2a (ez a megadott állandó, így a > c)

KL - az ellipszis kistengelye, hossza 2b

Pitagorasz tétele miatt: a² = b² + c²

Def.: A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, melyeknek két rögzített ponttól (fókuszpontok) vett távolságai különbségének abszolút értéke a két pont távolságánál kisebb állandó.

Elnevezések:

F₁ és F₂ - fókuszpontok, távolságuk 2c

AB - a hiperbola valós tengelye, hossza 2a (ez a megadott állandó, így a < c)

KL - a hiperbola képzetes tengelye, hossza 2b

Pitagorasz tétele miatt: c² = a² + b²

Kúpszeletek közös származtatása: Adott a síkon egy vezéralakzat (egy egyenes vagy kör) és egy rá nem illeszkedő pont. Keressük azon körök középpontjainak halmazát a síkon, amelyek érintik a vezéralakzatot és átmennek a ponton.

Megmutatható, hogy ha egy mindkét irányban végtelen egyenes körkúpfelületet elmetszünk bármely olyan síkkal, amelyik nem megy át a kúp csúcsán és nem merőleges a kúp tengelyére, akkor a keletkezett metszetgörbe

·         ellipszis, ha a sík a kúp egyetlen alkotójával sem párhuzamos ((a). ábra);

·         parabola, ha a sík pontosan egy alkotóval párhuzamos ((b). ábra);

·         hiperbola, ha a sík két alkotóval párhuzamos ((c). ábra).

Tétel

Látókörívek tétele: Azon pontok halmaza a síkban, amelyekből a sík egy adott szakasza egy adott α (0° < α < 180°) szög alatt látszik, két, a szakaszra szimmetrikus körív.

Ennek speciális esete α = 90°-ra:

Azon pontok halmaza a síkban, amelyekből egy adott szakasz derékszög alatt látszik egy olyan kör, melynek átmérője az adott szakasz, kivéve a szakasz végpontjait.

A speciális eset bizonyítása:

Két lépésben: először bizonyítjuk, hogy ha egy pont rajta van a körön, akkor α = 90° (Thalész-tétel), másodszor, hogy ha α = 90°, akkor rajta van a körön (Thalész-tétel megfordítása).

1. Thalész-tétel: Adottak A, B, és C pontok a síkon. Ha C pont rajta van az AB szakasz, mint átmérő fölé írt körön, akkor az ABC háromszög derékszögű, és átfogója az AB szakasz.

Bizonyítás:

Adott ABC háromszög, szögei α, β, γ.

AKC háromszög egyenlőszárú, tehát KCA szög = α.

BKC háromszög egyenlőszárú, tehát KCB szög = β.

Tehát α + β = γ, vagyis α + β + γ = 2α + 2β = 180°, emiatt α + β = γ = 90°.

2. Thalész-tétel megfordítása: A derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja.

Bizonyítás:

Adott ABC háromszög, ahol α + β = 90°.

ABC háromszöget tükrözzük az átfogó felezőpontjára. Mivel a tengelyes tükrözés szög- és távolságtartó, ezért egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek szögei derékszögek, vagyis a síkidom téglalap.

A téglalap átlói egyenlő hosszúak (CC'=AB) és felezik egymást emiatt a két átló metszéspontja a téglalap köré írható kör középpontja.

Ugyanez a kör írható az eredeti háromszög köré is, és ennek középpontja az átfogó felezőpontja.