4. tétel

Hatványozás, a hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok

  a - alap; n - kitevő

1)Egész kitevőjű hatványok:

Pozitív egész kitevőjű hatvány

Def: Bármely valós szám első hatványa önmaga.

aⁿ egy olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a.

; R és ; R, Z⁺\{1}

Nulladik hatvány

Def: Bármely 0-tól különböző valós szám 0. hatványa 1.

; R\{0} - A -t nem értelmezzük!

Negatív egész kitevőjű hatvány

Def: Bármely 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa az alap ellentett kitevővel vett hatványának reciproka.

; R\{0}, Z⁺

Azonosságok:

·         Azonos alapú hatványok szorzata egyenlő az alap a kitevők összegére emelt hatványával.

; R\{0}, Z vagy 0; Z⁺

Bizonyítás:

a) pozitív egész kitevő esetén (R, Z⁺)

1.+3. - a hatványozás definíciója

2. - a szorzás asszociatív

b) negatív egész kitevő esetén (R\{0}, Z⁺)

1.+3. - a hatványozás definíciója

2. - amit az a/ részben bizonyítottunk

c) különböző előjelű egész kitevő esetén, ha m>n (R\{0}, Z⁺)

1.+2.+4. - a hatványozás definíciója

3. - tört egyszerűsítése

d) különböző előjelű egész kitevő esetén, ha m = n (R\{0}, Z⁺)

1.+2.+4. - a hatványozás definíciója

3. - törtek egyszerűsítésének szabálya

e) különböző előjelű egész kitevő esetén, ha m<n (R\{0}, Z⁺)

1.+2.+4. - a hatványozás definíciója

3. - törtek egyszerűsítésének szabálya

·         Azonos alapú hatványok hányadosa egyenlő az alap a hatványkitevők különbségére emelt hatványával.

; R\{0}, Z

Bizonyítás.:

1. - a hatványozás definíciója

2. - az imént bizonyított azonosság

·         Hatvány hatványa egyenlő az alap a kitevők szorzatára emelt hatványával.

; R\{0}, Z vagy 0; Z⁺

·         Azonos kitevőjű hatványok szorzata egyenlő az alapok szorzatának a közös kitevőre emelt hatványával.

; R\{0}, Z vagy 0  0, Z⁺

Bizonyítás:

a) pozitív egész kitevő esetén

1.+3. - a hatványozás definíciója

2. - a szorzás kommutatív

b) negatív egész kitevő esetén (a és b 0-tól különböző valós számok)

1.+3. - a hatványozás definíciója

2. - amit az a) részben bizonyítottunk

·         Azonos kitevőjű hatványok hányadosa egyenlő az alapok hányadosának a közös kitevőre emelt hatványával.

; R\{0}, Z vagy 0; R\{0};  Z⁺

2)Racionális kitevőjű hatványok

Permanencia elve: a  racionális, illetve irracionális kitevőjű hatványok bevezetésekor ügyelünk arra, hogy a korábbi azonosságok érvényben maradjanak.

pl.:  Válasz:

Van-e minden számnak törtkitevős hatványa?

Példák:

I. , ugyanakkor

II.  - Nincs megoldás a valós számok halmazán!, de

 és , tehát a két-két eredménynek meg kellene egyeznie, mivel a műveletek egyértelmű megfeleltetések. Ezt a problémát úgy küszöböljük ki, hogy megegyezés szerint a negatív

számok törtkitevőjű hatványait nem értelmezzük!

Def.: Egy pozitív valós szám -adik hatványa a szám p-edik hatványának q-adik gyöke. A 0-nak csak a pozitív racionális kitevőjű hatványait értelmezzük, ezek értéke 0.

  R⁺; Z; N\{0; 1} és ha , akkor

3)Irracionális kitevőjű hatványok

irracionális szám = nem írható fel  alakban  kétoldali közelítéssel határozzuk meg az irracionális kitevőjű hatványok értékét: racionális kitevőjű hatványokkal közelítjük meg egyre jobban mindkét oldalról, ahová a két közelítő érték tart, annyi az irracionális kitevőjű hatvány értéke (rendőr-elv)

pl.:

…

Alkalmazások

Matematikai alkalmazások

·         nevezetes azonosságok

·         mértani sorozatok (;Z⁺, ahol a_n a sorozat n-edik tagja, a₁ a sorozat első tagja, és q a kvóciens, vagyis a sorozat hányadosa)

·         számok normálalakja (; )

·         kombinatorika - ismétléses variációk

Egyéb

·         kamatszámítás (mint a mértani sorozatoknál, de itt: a₁ az induló tőke, a_n a számlánkon levő pénz az n-edik év elején és , ahol p% a kamatláb)

·         radioaktív bomlás (, ahol N a még el nem bomlott atommagok darabszáma, N₀ a kezdeti atommagok darabszáma, T az anyagra jellemző felezési idő, és t az eltelt idő)

·         mértékegységek közötti átváltás