5. tétel

Gyökvonás. Gyökfüggvények, hatványfüggvények és tulajdonságai.

Gyökvonás

Def.: Az a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, amelynek négyzete a.

Jelölés:  (A definíció éppen azt mondja ki, hogy . Az a szám azért nem lehet negatív, mert nincs olyan szám, amelynek a négyzete negatív, a négyzetgyöke pedig azért nem, mert akkor a négyzetgyökvonás nem lenne egyértelmű, azaz nem lenne művelet. Pl. a 16 négyzetgyöke lehetne -4 és 4 is.)

Általánosságban az n. gyök (n 1-nél nagyobb természetes szám) definiálásakor külön kell foglalkoznunk a páros és páratlan n természetes számokkal, mivel negatív szám nem lehet egyetlen számnak sem a páros kitevőjű hatványa. A definíciók tehát:

Def.: Az a nem negatív szám 2k. gyöke az a nem negatív szám, amelynek 2k. hatványa a.

Def.: Az a szám (2k + 1). gyöke az a szám, amelynek (2k + 1). hatványa a.

Jelölés:  (A definíciók éppen azt mondják ki, hogy .)

Azonosságok (tételek)[1]:

1.     , ha n 1-nél nagyobb természetes szám

2.     , ha n 1-nél nagyobb természetes szám

3.     Szorzat n. gyöke a tényezők n. gyökének szorzatával egyenlő. Azaz: , ha a és b nem negatív számok, n 1-nél nagyobb természetes szám

4.     Törtkifejezés n. gyöke a számláló n. gyökének és a nevező n. gyökének hányadosával egyenlő. Azaz: , ha a és b nem negatív számok, n 1-nél nagyobb természetes szám

5.     Egy szám k. gyökének n. gyöke egyenlő a szám nk. gyökével. Azaz: , ha a nem negatív szám, n és k 1-nél nagyobb természetes számok

Bizonyítás:

            (1) a hatványozás azonossága miatt, (2) és (3) pedig a gyökvonás definíciója miatt áll fenn.

6.     Egy szám k. hatványának n. gyöke egyenlő a szám n. gyökének k. hatványával. Azaz: , ha a nem negatív szám, n 1-nél nagyobb természetes szám.

Bizonyítás:

(1) a hatványozás és (3) a hatványozás definíciója miatt, (2) pedig a gyökvonás 3. azonossága miatt áll fenn.

Megjegyzések:

1.                  További azonosságok találhatók a „Négyjegyű függvénytáblázatok”-ban.

2.                  Ha  típusú kifejezéssel van dolgunk, akkor célszerű lehet azt  alakra hozni. (ld. 4. tétel)

Hatványfüggvények és tulajdonságaik

f(x) = x^2k                                                                    f(x) = x^2k+1

Gyökfüggvények és tulajdonságaik

f(x) =                                                                 f(x) =

Alkalmazások

·        másodfokú egyenletek megoldása során (megoldóképlet)

·        Pitagorasz-tétel alkalmazása során

·        Héron-képlet alkalmazása során

·        nevezetes közepek alkalmazása során (mértani közép)