6

6. tétel

A logaritmus. A logaritmus és exponenciális függvény, a függvények tulajdonságai.

A logaritmus

Def.: Az x pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a-t emelve x-et kapunk.

Azaz: , ahol a- t a logaritmus alapjának, x-et pedig numerusának hívjuk.

A definícióból következik, hogy a log_ax-re mindig ki kell kötni, hogy a > 0, a ≠ 1 és x > 0!

A tízes alapú logaritmust lg-vel jelöljük, a természetes alapút ln-el.

Nevezetes logaritmusok: (Következnek a logaritmus defníciójából.)

log_a1= 0

log_aa= 1

log_aa^x= x

Azonosságok: (További azonosságok találhatók a függvénytáblázatban!)

· Szorzat a alapú logaritmusa egyenlő a tényezők a alapú logaritmusainak összegével.

; ha a > 0, a ≠ 1, x > 0 és y > 0

Bizonyítás: A bizonyítás ötlete, hogy mindkét kifejezést a alapú hatvány kitevőjébe írjuk. Ha egyenlő hatványokat kapunk, akkor az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kitevők is egyenlők voltak.

- a logaritmus definíciója miatt

- 1. a hatványozás azonossága, 2. a logaritmus definíciója miatt

· Hányados a alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező a alapú logaritmusának különbségével.

; ha a > 0, a ≠ 1, x > 0 és y > 0

Bizonyítás: Ugyanúgy kell bizonyítani, mint az első azonosságot.

· Hatvány a alapú logaritmusa megegyezik a hatvány alapjának a alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőjének a szorzatával.

; ha a > 0, a ≠ 1, x > 0 és k valós szám

Bizonyítás: Ugyanúgy kell bizonyítani, mint az első azonosságot.

Megjegyzés: Amikor alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, sokszor megváltoztatjuk a kifejezések értelmezési tartományát!

A logaritmus függvény és tulajdonságai

Def.: Az , (a > 0 és a ≠1, továbbá x > 0) függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük.

Megjegyzés: A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. (Grafikonja az exponenciális függvény grafikonjának az y = x egyenletű egyenesre vonatkoztatott tükörképe.)

Tulajdonságok	, a > 1	, ha 0 < a < 1
ÉT	IR⁺
ÉK	IR
folytonosság	folytonos
határérték
zérushely	x = 1
monotonitás	szig. mon. nő	szig. mon. csökken
korlátosság	nem korlátos
szélsőérték	nincs
inflexió	nincs
paritás	nincs
periodicitás	nem periodikus
invertálhatóság	invertálható, inverze a megfelelő exponenciális függvény

A logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásának menete:

· értelmezési tartomány vizsgálata (ezt helyettesítheti az ellenőrzés)

· azonosságok alkalmazása, közös alapra hozás

· ha szerepel, akkor valószínűleg log_ax-ben másodfokú lesz az egyenlet, célszerű új ismeretlen bevezetni

· egyenletek: ha , akkor a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x = y

egyenlőtlenségek: ha , akkor

ha 0 < a < 1, akkor a logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért x > y

ha a > 1, akkor a logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért x < y

Az exponenciális függvény és tulajdonságai

Def.: Az , (a > 0 és a ≠ 1) függvényt exponenciális függvénynek nevezzük.

(Azért van szükség a fenti kikötésekre, hogy a függvény minden kitevőre értelmezhető legyen, és ne legyen konstans)

Tulajdonságok	, a > 1	, 0 < a < 1
ÉT	IR
ÉK	IR⁺
folytonosság	folytonos
határérték
zérushely	nincs
monotonitás	szig. mon. nő	szig. mon. csökken
korlátosság	alulról korlátos (k = 0)
szélsőérték	nincs
inflexió	nincs
paritás	nincs
periodicitás	nem periodikus
invertálhatóság	invertálható, inverze a megfelelő logaritmus függvény

Megjegyzés: Mivel a⁰= 1, ezért a függvény grafikonja átmegy a P(0;1) ponton.

· populáció egyedszámának változása az idő függvényében, ha van elég ennivaló exponenciális függvénnyel írható le

Megjegyzés: A fenti két példa az y' = k×y differenciálegyenlet megoldásából adódik.

o Ha az n adatból barkochba jellegű kérdésekkel kell megkeresni egyet, akkor log₂n lépést kell elvégeznünk. (logaritmikus lépésszám)

o Ha mindegyik adatot külön-külön meg kell vizsgálnunk, akkor n lépésre van szükség. (polinomiális lépésszám)

o Ha bármely kettőt össze kell hasonlítanunk, akkor pedig

lépésre. (polinomiális lépésszám)

o Az is lehet, hogy az n adat minden részhalmazát külön meg kell vizsgálnunk, ilyenkor 2ⁿ esetet kell végignézni. (exponenciális lépésszám)

A három fő típus tehát: logaritmikus, polinomiális és exponenciális lépésszámot igénylő problémák. Az előbbi típusú problémák nagyobb adathalmaz esetén is megoldhatók a számítógép segítségével, az utóbbiak megoldása (exponenciális) már kisebb adathalmaz esetén is reménytelenül nehéz.

A logaritmustáblának és a logarlécnek hatalmas jelentősége volt a számítások - pl. szorzás, hatványozás, gyökvonások - végrehajtásában, hiszen ezen műveletek elvégzéséhez a logaritmus és az exponenciális függvény alkalmazásán túl csak összeadásra és kivonásra van szükség.

Állandó kamatláb és kamatos kamat mellett a bankba betett pénz exponenciálisan nő, csak kicsi az alap. Az inflációt is az exponenciális függvény írja le a kezdeti időpillanathoz képest, ha az infláció %-ban hosszú távon változatlan mértékű.