7. tétel

Első- és másodfokú függvények, egyenletek.

Függvények

Megjegyzés: Ennél a tételnél bármely függvénytulajdonság definícióját választhatjátok, ha azok az alábbiaknál szimpatikusabbak. (Ezek a 11. tételben megtalálhatóak!)

Elsőfokú függvény

Def.: Az x® ax + b (a, b Î IR és a ¹ 0) hozzárendelési szabállyal megadott lineáris függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük.

f: x ® x

• grafikonja egyenes
• D_f = IR, R_f = IR
• zérushely: x = 0

·         szig. mon. nő

• nincs szélsőértéke
• nem korlátos
• páratlan

·         nem periodikus

·         folytonos

·          és

A függvény transzformáltjai: x® ax + b (a, b konstans és a ¹ 0) alakúak.

·         a - az egyenes meredeksége (Ha a > 0, akkor a függvény szig.mon. növekvő, ha a < 0, akkor pedig szig. mon. csökkenő.)

·         b - az egyenes a (0; b) pontban metszi az y tengelyt.

Másodfokú függvény

f: x ® x²

·         grafikonja parabola

• D_f = IR, R_f = IR⁺₀
• zérushely: x = 0
• ha x £ 0, akkor szig. mon. csökken, ha x ³ 0, akkor szig. mon. nő

·         absz. min. hely: x = 0 (értéke: 0)

·         alulról korlátos, alsó korlát: x = 0

• páros

·         nem periodikus

·         folytonos

·          és

A függvény transzformáltjai x® a(x - u)² + v (a Î IR\{0}, és u, v Î IR) alakúak.

·         a parabolát az v(u; v) vektorral toljuk el (ekkor T(u; v) lesz a tengelypont), és a-szorosára nyújtjuk (Ha pl. a > 0 és v < 0, akkor két zérushely van…)

Egyenletek

Elsőfokú egyenlet: ax + b = 0 alakú egyenlet, ahol a, b Î IR és a ¹ 0

Def.: A másodfokú egyenlet ax² + bx + c = 0 (ahol a Î IR\{0}; b, c Î IR) formába rendezett alakját az egyenlet 0-ra redukált általános alakjának nevezzük.

Def.: A b² - 4ac kifejezést az ax² + bx + c = 0 (a Î IR\{0}; b, c Î IR) 0-ra redukált egyenlet diszkriminánsának nevezzük. Jele: D

Tétel: Az ax² + bx + c = 0 másodfokú egyenletnek (a ¹ 0)

·         D > 0 esetén két valós gyöke van, ezek:

·         D = 0 esetén egy valós gyöke van:

·         D < 0 esetén nincs valós gyöke.

(A tétel bizonyítása a Radnótis TK 13-14 éveseknek 25. oldalán található meg.)

Ha megadunk két valós számot, x₁-et és x₂-t, akkor felírhatunk olyan másodfokú egyenleteket, amelyeknek két gyöke a megadott két valós szám: a(x - x₁)(x - x₂) = 0, a Î IR\{0}.

Az ilyen alakban felírt másodfokú egyenleteket gyöktényezős alakban felírt egyenleteknek nevezzük.

Ha x₁ = x₂, akkor a gyöktényezős alak: a(x - x₁)² = 0, a Î IR\{0}.

Tétel: Minden olyan másodfokú egyenlet, melynek diszkriminánsa nem negatív, felírható

a(x - x₁)(x - x₂) = 0 gyöktényezős alakban is, ahol x₁ és x₂ az egyenlet két gyöke, a Î IR\{0}.

Tétel (Viète-formulák): Ha az ax² + bx + c = 0 (a Î IR\{0}; b, c Î IR) nem negatív diszkriminánsú másodfokú egyenlet gyökei x₁ és x₂; akkor az  és az  összefüggések fennállnak.

1. Bizonyítás:

2. Bizonyítás: Radnótis TK 15-16 éveseknek 129. oldalán

Alkalmazások

Fizika

·         ferde hajítás: hely-idő grafikonja parabola

·         egyenletes gyorsulás: út-idő grafikonja parabola, sebesség-idő grafikonja lineáris

Matek

·         egyenleteket alkalmazunk szöveges feladatok megoldása során, geometria feladatok megoldása során

·         algebrai törtek egyszerűsítése, pl.: