kifejezéseket
a és b harmonikus, mértani, számtani, négyzetes közepének
nevezzük.9. tétel
Másodfokú egyenlőtlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása szélsőérték-feladatok megoldásában.
Másodfokú egyenlőtlenségek[1]
= olyan egyenlőtlenségek, melyekben van másodfokú tag, és felírhatók ax2 + bx + c > 0 alakban
Példa: x2 - 2x - 3 ≥ 0
1.mo.: az egyenlet gyökei: x1 = 3 és x2 = -1, innen grafikusan: x ≤ -1 vagy 3 ≤ x
2.mo.: (x - 3)(x + 1) ≥ 0 akkor, ha
1.eset: mindkét tényező nem negatív
x - 3 ≥ 0, azaz x ≥ 3 és x + 1 ≥ 0, azaz x ≥ -1 à x ≥ 3
2.eset: mindkét tényező nem pozitív
x - 3 ≤ 0, azaz x ≤ 3 és x + 1 ≤ 0, azaz x ≤ -1 à x ≤ -1
Tehát az egyenlőtlenség megoldása: x ≤ -1 vagy 3 ≤ x
Def.: Az olyan egyenlőtlenségeket, amelyek megoldáshalmaza megegyezik a feladat értelmezési tartományával azonos egyenlőtlenségeknek nevezzük.
Pl.: 2x + 3 < 2x + 6
Nevezetes közepek
Def.: Ha a és b pozitív valós
számok, akkor a kifejezéseket
a és b harmonikus, mértani, számtani, négyzetes közepének
nevezzük.
Tétel: Ha a és b pozitív valós számok, akkor a harmonikus közepüknél nagyobb vagy egyenlő a mértani, a mértaninál nagyobb vagy egyenlő a számtani, és a számtaninál nagyobb vagy egyenlő a négyzetes közepük, azaz:
(a,
b > 0)
?
A két szám nevezetes közepei akkor és csak akkor egyenlők, ha a két szám is egyenlő.
Bizonyítás: emeljük négyzetre (minden tag pozitív)
→
szorzunk a nevezővel (biztosan pozitív)
→szorzunk
ab-vel, és - 4ab
,
tehát az eredeti egyenlőtlenség is igaz, mivel végig ekvivalens átalakításokat
végeztünk és a két oldal akkor és csak akkor , ha a = b
?
→
szorzunk 4-gyel és -4ab
,
tehát az eredeti egyenlőtlenség is igaz, mivel végig ekvivalens átalakításokat
végeztünk és a két oldal akkor és csak akkor , ha a = b
→
szorzunk 4-gyel és rendezünk
,
tehát az eredeti egyenlőtlenség is igaz, mivel végig ekvivalens átalakításokat
végeztünk és a két oldal akkor és csak akkor , ha a = b
Hasonlóan definiálható n pozitív valós szám harmonikus, mértani, számtani, négyzetes közepe, és ezekre is hasonló tétel áll:
Tétel:
,
ha a1, a2,
., an > 0 és a
kifejezések akkor és csak akkor egyenlőek, ha a n szám egyenlő.
Nevezetes közepek alkalmazása szélsőérték-feladatok megoldásában
Példák szélsőérték-feladatokra:
1. Bontsd a számot két részre úgy, hogy a két rész szorzata a lehető legnagyobb legyen!
2. Egy 30 cm oldalú négyzet alakú lapból négyzet alapú hasáb alakú fedél nélküli dobozt készítünk úgy, hogy a lap minden sarkánál kivágunk egy-egy egybevágó négyzetet, és az így kapott füleket felhajtjuk. Legfeljebb mekkora térfogatú doboz készíthető ezzel a módszerrel?
3. Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek összege 45. Mekkora lehet legfeljebb a téglatest térfogata?
Megoldás:
Az abc maximumát keressük, ha a + b + c = 45.
Felhasználva a mértani és a számtani közép közötti összefüggést:
,
azaz abc 
3375
és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a = b = c = 15,
azaz ha a téglatest kocka. Tehát: Vmax = 3375 cm3
Állítás: Az
sorozat
szigorúan monoton növő.[2]
Bizonyítás:
kell: an < an+1 minden n Є
N+, azaz 
,
ötlet: n + 1 kifejezés: 
,
ezekre felírva a mértani és a számtani közép közötti
összefüggést:
(egyenlőség
most nem állhat, hiszen nem egyenlő minden tag), a kifejezéseket rendezve:
,
ezt (n + 1). hatványra emelve
kapjuk az eredeti állítást.
Állítás: Az
sorozat
felülről korlátos
Bizonyítás:
ötlet: n + 2 kifejezés: 
,
ezekre felírva a mértani és a számtani közép közötti összefüggést:
(egyenlőség
most nem állhat, hiszen nem egyenlő minden tag), a kifejezéseket rendezve:
,
innen (n + 2). hatványra emelve és rendezve:
és
ez minden n természetes számra teljesül, azaz a sorozat felső korlátja 4.
Megjegyzés: Az ismert tétel szerint, ha egy sorozat szigorúan monoton növő és felülről korlátos, akkor konvergens. A fenti sorozat határértéke éppen a nevezetes e szám. (e = 2,718)