GONDOLATOK A KISZÁMÍTHATÓSÁGRÓL

1. SZÁMOK

A szám egy mennyiséget, azaz elemek sokaságának nagyságát meghatározó fogalom, amit egy adott számábrázolási rendszerben használt számjegyekkel írunk le. A számrendszer azon szabályok összessége, amik meghatározzák, hogy a számjegyek milyen számot jelenítenek meg? Ilyen szabály a szám egészének ábrázolási módja (vízszintesen balról jobbra, különálló karakterekkel, normál vagy lebegőpontos alakban), a számhoz felhasznált számjegyek egyedi ábrázolása (formai kinézetük: arab, római, egyéb számok), a helyiértékek használata (alaki érték, helyiérték sorrend, az alapszám hatványainak összege adja a számot), az egész és tört részeket elválasztó vessző használata, az aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás a számok között) szabályai.

Ha jól definiáljuk a szám fogalmát, akkor arra jutunk, hogy minden fizikai vagy logikai mennyiséghez kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy konkrét szám. A mennyiség értéke számegyenesen ábrázolható egy konkrét pont helyével. A számegyenesen egy ponthoz csak egy szám rendelhető hozzá és egy számhoz a számegyenesen csak egy pont rendelhető hozzá. Ennek sok következménye van, amik alapjaiban befolyásolják az aritmetikai műveletek eredményeit.

2. AZONOSSÁGI HIBÁK

Például az olyan matematikai bizonyítások, mint:

Ha 1/3=0,333..., akkor 3/3=0,999... Mivel 3/3=1, ezért 0,999...=1

Nem lehetnek igazak, mert két különböző számjegyekkel ábrázolt szám értéke nem lehet egyenlő a szám fogalom definíciójából következően. Hisz a számegyenesen sem ugyanazt az egy pontot foglalják el. Ami azt jelenti, hogy a bizonyításhoz használt matematikai apparátus hibás, illetve hiányos. Ezzel együtt a számítógépekben használt aritmetika is hibás, illetve hiányos. A fenti példánál maradva, ha egy számológépen elvégezzük a következő műveletet:

1/3=0,333..., majd az eredményt megszorozzuk hárommal: 0,333...x3=1

Viszont ha beírjuk, hogy:

0,333333333x3=0,999999999

Akkor a helyes értéket kapjuk. Ami azt jelenti, hogy a gép rosszul számolt, mert a végtelen tizedestörttel végzett szorzást hibásan felkerekítette, a véges tizedestörttel végzett szorzást viszont nem, noha mindkét esetben ugyanazon számok szerepelnek ugyanazon helyiértékeken. És ez a hiba minden végtelen tizedestörtnél fennáll.

Például a matematikusok szerint:

3/4=0,75=0,750000...=0,749999...

Ami nyilvánvalóan nem igaz.

Akit érdekel az ezzel kapcsolatos matematikai vita, itt olvashat utána a különböző bizonyításoknak és vélekedéseknek:
https://hu.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
https://hu.wikipedia.org/wiki/Racion%C3%A1lis_sz%C3%A1mok

3. VÉGTELENSÉGEK

A végtelen tizedestört számok lehetnek szakaszosak vagy nem szakaszosak. A végtelen kifejezés azt jelenti, hogy a számnak nincs vége, ezért nem lehet az összes helyiértéken szereplő számjegyével ábrázolni. A véges számok és véges törtek esetében mindig van egy utolsó, legkisebb helyiértékű számjegy, ami után csak 0-k állnak, amiket nem kell kiírni, mivel nem változtatják meg a szám értékét, illetve a pontjának számegyenesen elfoglalt helyét. A végtelen tizedestörteket ezért a pontos ábrázolásuk helyett csak részben ábrázoljuk. Ha szakaszosak, akkor csak az első szakaszukat írjuk le, annak első és utolsó számjegye fölé pontot téve. Ha csak egy számjegyből áll a szakasz, akkor csak egy szám fölé teszünk pontot. Ha nem szakaszosak, akkor a megkívánt pontosságtól függően, néhány tizedesjegyig írjuk le, majd három pontot írunk utána.

Ennek kapcsán felmerül a kérdés: léteznek-e a végtelen tizedestörtek? Továbbá: létezik-e a végtelen, mint szám? Hiszen, ha valami végtelen, akkor nincs vége, tehát nem lehet pontosan leírni, meghatározni, így nem létezhet ténylegesen. Mivel a létezés időbeli folyamat, egy végtelen tizedestört kiszámítása a végtelenségig tart, mert soha nem ér véget a számítási folyamat. Az ábrázolása pedig végtelen helyet foglal el, függetlenül attól, mennyire végesen kicsi számokkal írjuk le, mennyire végesen vékony papírlapokra, amik az egész világegyetemet megtöltik. Mivel a számítási művelet fizikailag mindig csak véges sebességgel történhet (legyen bármilyen gyors is), az olyan műveletek, mint: 1/3=0,3333... gyakorlatilag elvégezhetetlenek. Ami azt jelenti, hogy a racionális számok közül a végtelen tizedestörtek nem lehetnek racionálisak (ésszerűek), hisz senki sem fogja józan ésszel az öröklétet a kiszámításukra pazarolni (hiábavalóan).

Most tegyük fel, hogy lehetséges valami módon végtelenül gyorsan elvégezni a számítási műveletet. Vajon ekkor kiszámíthatóvá válnak a végtelen tizedestörtek? A válasz az, hogy akkor sem. Hisz egy végtelenül hosszú számnak nincs vége. Így végtelenül gyorsan végigfutva rajta ugyanúgy nem juthatunk a végére, mert nincs hová eljutni. Ennélfogva a végtelen tizedestörtek sem a gyakorlatban (fizikailag), sem elméletben (logikailag) nem kiszámíthatók. Vagyis ésszerűtlenek (irracionálisak). Így minden olyan matematikai képlet, amiben részeredményként végtelen tizedestört szerepel vagy végeredményként végtelen tizedestörtet ad; nem kiszámítható.

Következésképp a 0,999... soha nem lehet egyenlő 1,000...-val.

Definíciószerűen a szám és a kiszámításának összefüggései a következők:
1. Véges számú számjegyből álló számot, véges sebességgel; véges időtartam alatt lehet kiszámolni. Tehát a gyakorlatban kiszámolható.
2. Véges számú számjegyből álló számot, végtelen sebességgel; nulla időtartam alatt lehet kiszámolni. Tehát csak elméletben kiszámolható.
3. Végtelen számú számjegyből álló számot, véges sebességgel; végtelen időtartam alatt lehet kiszámolni. Tehát nem kiszámolható.
4. Végtelen számú számjegyből álló számot, végtelen sebességgel; végtelen időtartam alatt lehet kiszámolni. Tehát nem kiszámolható.

4. MENNYISÉGEK

Ha a számegyenesen minden pont meghatároz egy konkrét, véges mennyiséget, akkor a végtelen nincs rajta a számegyenesen, sem a pozitív számok félegyenesén (plusz végtelen), sem a negatív számok félegyenesén (mínusz végtelen). A végtelen tizedestörtek rajta vannak a számegyenesen, de a helyük nem meghatározható, nem bejelölhető, csak közelíthető valamilyen véges pontossággal. Így elbújnak a számegyenesen a véges tizedestörtek közt, azt az illúziót keltve, hogy a számegyenes folytonos, azaz rajta bármely két, tetszőlegesen közel elhelyezkedő véges szám közt végtelenül sok további, véges tizedestörtszám és végtelen tizedestörtszám található. Csakhogy a végtelen tizedestörtek helye nem meghatározható, ennélfogva láthatatlanok a szemlélő számára, vagyis gyakorlatilag nem léteznek. Ami azt jelenti, hogy a létező számegyenes a valóságban nem lehet folytonos, csak kvantált, tetszőleges (véges) felbontásban vizsgálva. Mivel a végtelenül finom felbontás megvalósíthatatlan, még akkor is, ha végtelenül gyorsan növeljük a felbontás mértékét.

Ami viszont azt jelenti, hogy a véges felbontás alatti tartományban minden szám összemosódik, látszólag összeolvad egyetlen számmá a szemlélő számára. Ebben az összeolvadási tartományban pedig a 0,999...=1. De csak látszólag, nem ténylegesen! Ez az a fogalmi hiba, amit a matematikusoknak sikerült elkövetniük, hogy összekeverték a látszólagos mennyiséget a tényleges mennyiséggel. Ami arra vezethető vissza, hogy gondolkodás közben rendre kihagyják a műveletekből az időtényezőt, úgy téve, mintha egy számítás elvégzése nem igényelne semennyi időtartamot.

5. KOMPLEX SZÁMOK

A komplex számok a valós számok olyan kibővítését jelentik, amikkel elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás és más műveletek. A komplex számok egy valós és egy képzetes számból állnak, amik nem férnek el a számegyenesen, ezért geometriailag egy kétdimenziós számsíkon ábrázolják őket. A két szám a komplex szám koordinátáit határozza meg ezen a síkon.

A komplex számok megalkotásakor a matematikusok ismételten hibát vétettek, mert nagyvonalúan megfeledkeztek a szám definíciójáról: egy konkrét mennyiséget jelöl, ami ábrázolható a számegyenesen. A komplex számok nem ábrázolhatók a számegyenesen, tehát nem konkrét mennyiséget jelölnek, tehát nem tekintendők számoknak. A konkrét mennyiségek lehetnek létező dolgok, a nem konkrét mennyiségek viszont nem lehetnek, tehát nem léteznek és létre sem hozhatók a gyakorlatban. Ugyanez érvényes a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztésére, a kvaterniókra is. Helyesebb volna ezeket koordinátáknak vagy számhalmazoknak (vagy akárminek) nevezni és elkülönítve kezelni a létező, véges számoktól. Mert elméletileg gondolkodhatunk róluk, de fizikai jelenségek ábrázolására nem alkalmasak és a véges számokon elvégezhető műveletek sem végezhetők el rajtuk. Tehát külön műveletek definiálását igénylik, aminek részleteibe most nem megyünk bele.

Készült: 2023.12.15. - 24.

Vissza a tartalomhoz