NULLADIK HATVÁNY

Ebben a cikkben a hatványozás műveletét a felső indexet jelölő sisak karakter: ^ helyett egy hatágú csillaggal: * ábrázoltam. A gyökvonás műveletét a radix karakter: √ helyett két karakterrel: v- ábrázoltam. A logvonás műveletét a logaritmus jelölése: log helyett két karakterrel: o- ábrázoltam. Például: 3*2=9 (kiejtve: három hatvány kettő), 9v-2=3 (kilenc gyökusz kettő), 9o-3=2 (kilenc logusz három). Ennek kapcsán érdemes elolvasni ezt a cikket: Műveleti jelek (2023, matematika).

Az iskolában azt tanultuk, hogy bármely valós szám nulladik hatványa: 1. Amit arra alapoznak a matematikusok, hogy így sok azonosság érvényes marad és nem futunk bele különféle ellentmondásokba. Például:

1. Az azonos alapú hatványok szorzata egyenlő a közös alapnak a kitevők összegére emelésével.
Tehát: a*bxa*c=a*(b+c)
Számokkal ugyanez: 2*3x2*4=2*(3+4) azaz: 8x16=2x2x2x2x2x2x2=128
Viszont: 2*3x2*0=2*(3+0) ami csak akkor teljesül, ha: 2*0=1. Mert ha: 2*0=0, akkor nem teljesül az azonosság, azaz nem vonható össze a két hatványozott szám, mert eredetileg: (2*3)x(2*0)=8x0=0 az eredmény. Összevonva viszont: 2*(3+0)=8 az eredmény.

2. A hatványok hatványozása egyenlő a közös alapnak a kitevők szorzatára emelésével.
Tehát: (a*b)*c=a*(bxc)
Számokkal ugyanez: (2*3)*4=2*(3x4) azaz: 8*4=2*12=4096
Viszont: (2*3)*0=2*(3x0) azaz: 8*0=2*0=0, ami egy ellentmondás.

A gond ezzel a következő: A matematika egy szigorúan determinisztikus rendszer, amiben a logikai összefüggések, például a számokon végzett műveletek értelmezése, végrehajtása rögzített. Nem önkényesen definiálható (egyszer így, egyszer úgy), mert akkor hibás eredményekre vezet. A hatványozás definícióját a szorzásból vezetjük le (ismételt szorzásként), amit az összeadásból vezetünk le (ismételt összeadásként). Ebből következően, ha: 2x3=2+2+2 és 2x2=2+2 és 2x1=2, akkor: 2x0=0. Vagyis, ha: 2*3=2x2x2 és 2*2=2x2 és 2*1=2, akkor: 2*0=0. Tehát nem lehet: 1, mert a szorzás ismétlése nullaszor az alap elvételét jelenti (marad a: 0). Ha: 2x0=1 lenne, akkor: 2*0=1 lehetne.

Felmerül a kérdés, hogy ha ez ennyire nyilvánvaló, akkor a matematikusok miért önkényeskedtek és definiálták a nulladik hatványt kivételként 1-nek, 0 helyett? Mert így kijöttek nekik olyan dolgok, amiket nagyon szerettek volna elérni, de 0 esetén nem jöttek volna ki? Vagy mert így nem futnak bele az összevonások során kialakuló ellentmondásokba? Mi a jobb? A korrektség és az alapszabályok következetes alkalmazása vagy az, hogy a nekünk tetsző eredmény jöjjön ki? Ezt mindenki döntse el maga.

Hogy tisztábban lássunk ebben a kérdésben, most nézzük meg a hatványozás fordított műveleteit: a gyökvonást és a logvonást.

Gyökvonás esetén:
Ha: 2*0=0, akkor: 0v-0=2, ami ellentmondásra vezet, mert ha: 3*0=0, akkor: 0v-0=3.
Ha 2*0=1, akkor: 1v-0=2, ami ellentmondásra vezet, mert ha: 3*0=1, akkor: 1v-0=3.
Az eredmény minden esetben ellentmondásra vezet, tehát a nulladik gyökvonást nem értelmezzük.

Logvonás esetén:
Ha: 2*0=0, akkor: 0o-2=0, ami ellentmondásra vezet, mert ha: 3*0=0, akkor: 0o-3=0.
Ha: 2*0=1, akkor: 1o-2=0, ami ellentmondásra vezet, mert ha: 3*0=1, akkor: 1o-3=0.
Ez az eredmény is minden esetben ellentmondásra vezet, tehát a nullából és egyből való logvonás egyaránt értelmezhetetlen.

Visszatérve a hatványozáshoz:
Ha 1*3=1x1x1=1 és 1*2=1x1=1 és 1*1=1, akkor 1*0=0.
Ha 0*3=0x0x0=0 és 0*2=0x0=0 és 0*1=0, akkor 0*0=0.
Tehát itt sem teljesül az az önkényes kijelentés, hogy a valós számok nulladik hatványa: 1.

Vajon ez azt jelenti, hogy a 0 és az 1 nem valós számok? Ez megint ellentmondásra vezet, mert a valós számokat a természetes számokból vezetjük le, amiket az 1-ből hozunk létre a legelső és legegyszerűbb matematikai művelettel, az összeadással: 1+1=2, 1+1+1=3, stb. Ugyanezt a 0-val nem tehetjük meg, mert: 0+0=0, 0+0+0=0, stb. Vajon ez azt jelenti, hogy a 0 nem természetes szám? Egyesek szerint igen, mások szerint nem. A matematikusok ezt filozófiai kérdésnek tartják, önkényesen elhárítva maguktól a felelősséget a döntés kapcsán. A filozófia viszont, mint a matematika (és minden más tudományág) segédtudománya a fizikára mutogat e kérdésben, mondván, hogy a fizikai valóságban, amit természetnek nevezünk, nincsenek nulla mennyiségek. Nulla darab elem nem létezik, csak elméletileg elképzelhető, mint fogalom. A fizika meg visszamutogat a matematikára, mondván, hogy a természet működésének alapjai csak a matematikai konstrukciók által érthetők meg, mert az érzékelésünk és a műszeres méréseink korlátozottak. Ezzel bezárul a kör, megoldás pedig nincs.

Mindebből azt a következtetést kell levonnunk, hogy elméletileg a matematikának egy determinisztikus és ellentmondásmentes logikai rendszernek kellene lennie, gyakorlatilag viszont egyértelműen nem az. Ahogyan a fizikai létezés is elméletileg ellentmondásmentes kéne, hogy legyen, gyakorlatilag viszont egyáltalán nem az. A matematika és a matematikus, aki filozófusként gondolkodik erről, a fizikai világban létezik. Mégsem tudjuk biztosan, hogy a matematika azért ellentmondásos, mert a fizikai valóság, amiben létrehoztuk, ellentmondásos? Vagy azért, mert rosszul definiáltuk az alapjait? Ahogy azt sem tudjuk, hogy lehet-e ellentmondásmentes matematikai modellt alkotni? Kurt Gödel szerint nem. De ettől még próbálkozhatunk a feladattal, hátha találunk valami ellentmondást, ami miatt mégis igen lesz a válasz.

Források:
1. https://hu.wikipedia.org/wiki/Hatv%C3%A1ny
2. https://hu.wikipedia.org/wiki/Gy%C3%B6kvon%C3%A1s
3. https://hu.wikipedia.org/wiki/Logaritmus
4. https://hu.wikipedia.org/wiki/Term%C3%A9szetes_sz%C3%A1mok

Készült: 2024.12.25. - 26.

Vissza a tartalomhoz