GONDOLATOK A SZÁMEGYENESRŐL
Az alábbi elméleti fejtegetés megértéséhez érdemes elolvasni a: Gondolatok a kiszámíthatóságról (2023, matematika) című írást.
Ha a valóságban csak véges számok léteznek, akkor a számegyenes 1D-s kiterjedése nem végtelen hosszúságú, hanem a létezésének minden pillanatában véges, mint egy szakasz. Vagyis van két vége az aktuálisan legnagyobb pozitív számnál és az aktuálisan legkisebb negatív számnál. Amiken túl minden további nélkül meghosszabbítható mindkét irányba, tetszőlegesen nagy, de mindig csak véges mértékben.
A számegyenesnek mindig van felbontása, ami meghatározza a rajta ábrázolni kívánt számok közti legkisebb távolságot. Természetes és egész számok esetén ez a felbontás egyszeres. Minél több tizedes helyiértékkel rendelkező törtszámokat ábrázolunk rajta (tízes számrendszerben), a felbontás annál nagyobb lesz. Tehát ha a legkisebb ábrázolható távolság 0,1, akkor a felbontás tízszeres, 0,01-nél százszoros, stb. Ugyanígy ha a legkisebb ábrázolható távolság 10, akkor a felbontás egytizedes, 100-nál egyszázados, stb. A felbontás értéke mindig csak véges szám lehet.
A számegyenesnek mindig van nagyítása, ami meghatározza a rajta ábrázolni kívánt számok közti legkisebb távolság fizikai mértékét, adott mértékegységben megadva. A hétköznapi vonalzók estén ez 1 milliméter, egyszeres felbontással. Az más kérdés, hogy a rovátkák csak 1 centiméterenként vannak sorszámozva a helyszűke miatt, hogy olvasható méretűek legyenek rajta a számok. Így azt is mondhatnánk, hogy a felbontás 0,1 centiméter, tízszeres felbontással. A nagyítás értéke mindig csak véges szám lehet.
A számegyenes soha nem folytonos vonal, mindig csak diszkrét pontok véges halmazaként definiálható, amik adott távolságokra vannak egymástól az 1D-s kiterjedés mentén. Így a két szomszédos pont közti üres kiterjedéssel nem foglalkozunk, hiszen ott a felbontáson kívül eső, létező véges számok, valamint a nem létező, irracionális számok (végtelen törtek) rejtőzködnek jelöletlenül. Ezek közül az irracionális számokról a matematikusok bármennyit elmélkedhetnek, soha nem válnak valóssá a számunkra, tehát praktikusan nem kell foglalkoznunk velük. Így nem jutunk ellentmondásokra és nem kell ezek ábrázolási problémáival, besorolásaival, valamint a velük végezhető műveletekkel és számítástechnikai problémákkal (túlcsordulás, alulcsordulás, kerekítés, negatív gyök, stb.) bajlódnunk.
Azzal, hogy a valóságban létező számokat a véges számok körére korlátozzuk, ezek darabszámát elméletileg megszámlálhatóan végtelenre redukáljuk. Ezáltal a számegyenesen a végtelen számok és a végtelen tizedestörtek pozícióját csak kerekítve tudjuk megadni. A hozzájuk legközelebbi véges szám értéke így egy különös attraktor lesz, ami képletesen mintegy magához vonzza a kerekítési tartományán belül található összes, felbontáson kívüli létező és nem létező szám értékét, megtestesítve őket magában. A Pi értéke például egy vonalzón a 3,1 centiméteres értékhez fog tartozni.
Ebből viszont az következik, hogy a számegyenesen minden ábrázolható, gyakorlati szám egyben elméleti számhalmaz is, ami végtelen számú, nem ábrázolható számot tartalmaz. Ezek kezelésére külön szabályokat kell bevezetni, mert nem érvényesek rájuk a számegyenesen ábrázolt véges számok és az ezek halmazának kezelésére használt szabályok. Így a számelmélet két, szigorúan elkülönülő részre fog oszlani: a valós (véges) számokkal foglalkozó területre és a valótlan (valóson túli véges és végtelen) számokkal foglalkozó területre. Amik közt a kapcsolatot, az átjárást halmazelméleti fogalmakkal kell biztosítani.
Itt felmerül egy fontos kérdés: a nagyítást meghatározó fizikai távolságot mihez viszonyítjuk, hogyan határozzuk meg? Ez azonban nem matematikai kérdés, hanem nyilvánvalóan fizikai kérdés, ezért nem kell vele foglalkoznunk. Legyen a mérnökök, mérésügyi technikusok, fizikusok problémája.
Készült: 2024.01.05.
Vissza a tartalomhoz