DIMENIZÓ FOGALMAK

A dimenzió szó a latin dimétior (magyarul: kiméter, azaz: kimér) szóból származik, amit általában méretnek, kiterjedésnek értelmezünk. Ezt a matematikában és a fizikában különféle értelemben használják, sokféle fogalmat társítva hozzá, amik helytelen használata és összekeverése nagy mértékben hozzájárul évtizedek óta a dimenzió fogalmának téves értelmezéséhez világszerte (nem csak a tudományban, hanem minden más területen is). Ezért az alábbiakban röviden bemutatom, milyen fogalmak tartoznak az időfizikában és az időmatematikában a dimenzió kifejezéshez és melyiket mikor, hogyan kell használni? A tudományos dimenzió fogalmakkal kapcsolatban érdemes elolvasni ezt a szócikket: https://hu.wikipedia.org/wiki/Dimenzi%C3%B3

1. FIZIKAI IDŐDIMENZIÓ

Fizikailag az idő skaláris irányú mennyiség, tehát a kiterjedése, dimenziója minden irányú egyszerre. A létező dolgok időben léteznek, egyrészt a sajátidejükben önmagukhoz képest (abszolút idő), másrészt más létezők számára hozzájuk képest (relatív idő). Aminek nincs időbeli kiterjedése (0iD-s), az nem létezik (megnyilvánulatlan). Aminek van időbeli kiterjedése, az csak egyféle lehet (1iD-s), tehát a sajátidő telése egy irányú (a múlt felől halad a jelenen át a jövő felé). Nincs ellenkező irányú (a jövő felől a jelenen át a múlt felé) időtelés abszolút értelemben. Relatív értelemben viszont létrehozható olyan látszólagos időtelés, aminek iránya (szemlélt) visszafelé mozgónak tűnik a szemlélő számára (lásd: tachionok).

Az elemi létezők (0tD-s pontok) tehát 1iD-sek, ami a könnyebb megérthetőség (szemléletesség) kedvéért modellezhető és ábrázolható valamely térbeli kiterjedésbe (tD) vetítve. 1tD-ben ez a folytonos időszál (a két vége felé táguló szakasz), 2tD-ben ez a folytonos idősík (táguló körlap), 3tD-ben ez a folytonos időtér (táguló gömb), stb. Közös tulajdonságuk, hogy mindnek van egy középpontja, ahol az aktuális jelen pontja található, illetve van egy felülete, ahol a jelen egykori (múltbeli) létezésének első időpontja található (a sajátidő kezdete). Az időszál szakaszának két végpontja alkotja a kezdetet, amik álló jelenpont esetén egyforma távolságra esnek tőle. Az idősík körlapjának kerületi körvonala, az időtér gömbjének pedig a felszíne alkotja ugyanezen sajátidő kezdetét.

Ebből következik, hogy az időszál szakaszán minden időpillanathoz két pont tartozik, az idősík körlapján és az időgömb felszínén pedig megszámlálhatóan végtelenül sok a kerület és felület mentén. Másként megfogalmazva: a síkkerület globálisan 2tD-s körvonala lokálisan 1tD-s zárt görbe, aminek alkotó pontjai egyidejűek (ekvitemporiálisak), függetlenül a darabszámuktól. A gömbkerület globálisan 3tD-s felszíne lokálisan 2tD-s zárt felület, aminek alkotó pontjai egyidejűek. Mivel egyidejűek, ha két időpillanat közt a távolságuk és irányuk ábrázolására vektort akarunk felállítani, akkor ennek nagysága (hossza) a két időpillanat közti időbeli távolságot fejezi ki térbeli távolsággá leképezve. A vektor iránya pedig skaláris lesz, tehát az origóból húzott sugárirányú normálvektorra esik minden irányban.

Ha a jelenpont véges sebességgel elmozdul a saját véges sebességű időbeli kiterjedéséhez képest bármerre, akkor a két sebesség érték összevethetősége (idődoppler) miatt torzulni fog a leképzés időgeometriai szerkezete. A jelenpont haladási irányában torlódni (összesűrűsödni) fognak az egyes időbeli pillanatait reprezentáló alkotó pontok, az érkezési irányában pedig szétnyúlni (megritkulni) fognak a normálvektorok mentén. Ha egy jelenpont eltávozik (valahogyan, valahová) a saját idődimenziójából (időszakaszából, idősíkjából, időgömbjéből), a hátrahagyott idődimenziója nem szűnik meg és nem változik meg, mivel annak létezése és kiterjedése független a kibocsátó forrásától. Ekkor a kiterjedés belsejében a jelenpont létszünetének (hiányának) eseménye kezd el kiterjedni. Az ilyen idődimenziót (kettős időszakaszt, üreges idősíkot, üreges időgömböt) nevezzük meddőidőnek (terméketlen, mert nem szül újabb időt), amit meddőtérként (üreges kiterjedés) ábrázolunk. Ha egy jelenpont megszűnik létezni valamiért, akkor a hátrahagyott idődimenzióját árvaidőnek nevezzük, amit árvatérként ábrázolunk.

Mindebből az is következik, hogy a több jelenpontból álló ponthalmazok idődimenziói nem összeadhatók. Tehát egy n pontból álló létező halmaz nem lesz niD-s, hanem megmarad (nx1)iD-snek. Amit szintén többféle térdimenzióban ábrázolhatunk a szemléletesség érdekében. A minden létező ponthalmaza tehát bármely időbeli pillanatában vizsgálva megszámlálhatóan végtelen számú 1iD-s kiterjedésnek minősül. Ez egy véges érték, legyen bármilyen hatalmas is. És mivel az elemi létezőknek nem kell térdimenzióval rendelkezniük a létezésükhöz, pontosabban nem lehet térdimenziójuk, mert akkor nem lennének elemek a halmazban, ezért a minden létező mindörökre 0tD-s marad fizikailag. Amiből az következik, hogy a fizikai térdimenzió fogalma csak egy leképzése a fizikai idődimenziónak, nem önálló, tőle függetlenül létező kiterjedés. Ezért a tárgyalása, értelmezése nem történhet meg az idődimenzió értelmezése nélkül.

2. FIZIKAI TÉRDIMENZIÓ

Fizikailag a tér vektoriális irányú mennyiség, tehát a kiterjedése, dimenziója adott, konkrét irányú egyszerre. A térben létező dolgok időben is léteznek, attól nem lehetnek függetlenek. Egy térben tetszőleges térdimenziószámú kiterjedés (ntD-s), ami időben nem létezik (0iD-s), az egyáltalán nem létezik, tehát nem ábrázolható és nem mondhatunk róla semmit. Ami azt jelenti, hogy egy kiragadott időpillanat, ami eszményi esetben 0iD-s hosszúságú, csak úgy ábrázolható térbeli kiterjedésében (ntD-sként), ha ezt 1iD-s kiterjedésbe leképezzük (ez a leképzés leképzése). Ugye egy pillanatot megörökítő állókép is időben létezik és csak időben szemlélhető.

A térbeli kiterjedés mindig egy ponthalmaz, aminek kiterjedési irányai a pontok közti vektorokkal jellemezhetők. Egy pontnak nincs térbeli kiterjedése, mert csak egy önmagára mutató nullvektorral jellemezhető, aminek a térbeli (és az időbeli) leképzése is egy pontnyi, tehát kiterjedés (méret és irány) nélküli. A jelenpont tehát az a létező, aminek nincs része. Nem halmaz, ezért nincs belső szerkezete és semmit sem mondhatunk arról, hogy néz ki és miből van? Két pontnak már van térbeli kiterjedése, mert az őket összekötő vektornak van mérete és iránya, bár önmagában ezt nincs mihez viszonyítani, így az értéke meghatározhatatlan. Így csak annyit mondhatunk róluk, hogy léteznek és szálszerű, 1tD-s kiterjedést alkotnak. Azt továbbra sem tudjuk, hogy néznek ki és miből vannak, ami a ponthalmaz minden további bővítésére igaz lesz.

Három pont akkor alkot 1tD-s, szálszerű kiterjedést, ha az őket összekötő három vektor egymásra esik és egymással párhuzamos. Az irányuk lehet azonos vagy ellentétes, a méretük különböző. Ha a vektorok egymással valamilyen, nullától eltérő forgásszöget zárnak be egymással, akkor az egyik vektor vetülete a másikon ábrázolható egy olyan azonos vagy eltérő hosszúságú vektorral, aminek végpontjába egy merőleges vektort állítunk. Egy vektorra (kiterjedésre) merőleges az a vektor, aminek leképzése (vetítése) rá nullvektort ad. Tehát a három pont ábrázolható egy derékszögű háromszög csúcspontjaiként, amiből általánosítva azt mondhatjuk, hogy a három pont ábrázolható egy szabálytalan háromszög csúcspontjaiként. Ezek együtt egy 2tD-s, síkszerű kiterjedést alkotnak. Ebből általánosítva azt mondjuk, hogy a térbeli kiterjedés száma azonos a ponthalmaz ábrázolásához szükséges, egymásra merőleges vektorok számával, függetlenül az irányuktól és nagyságuktól. A forgásszöget pedig ebből két egymásra merőleges vektor összegeként definiáljuk. Amiből az következik, hogy 1tD-ben nincs forgás, 2tD-ben (és minden magasabb térdimenziószámú kiterjedésben) pedig kétféle forgásirány létezik: balos és jobbos.

A síklapos kiterjedés tehát 2tD-s, aminek egymásra merőleges, az origóból kimutató normálvektorait X és Y betűkkel jelöljük. Ennek matematikai leképzése az XY koordinátarendszer. A térgömbös kiterjedés 3tD-s, aminek egymásra merőleges normálvektorait X, Y és Z betűkkel jelöljük. A normálvektorok az irányfüggetlenségük miatt az origóból két, egymással ellentétes irányba mutathatnak kifelé, amiket a koordinátarendszerben pozitív és negatív számokkal szoktunk jelölni (+X, -X, +Y, -Y, +Z, -Z). Ebből már levezethető a forgásirány definíciója, ami az egymásra merőleges vektorok körbejárási irányát jelenti az origó (mint az XY síkot metsző Z tengely metszéspontja) körül egy síkban. Balos irány: +X, +Y, -X, -Y. Jobbos irány: +X, -Y, -X, +Y. Kettő tértükrözéssel (térbeli körbeforgatással) felcserélhető, átvihető egymásba, síkban forgatással viszont nem. Ezért mondjuk rájuk, hogy egymás tükörképei.

Mindez viszont nem jelenti azt, hogy a térbeli kiterjedés fizikailag ilyen és így néz ki! Mert az XYZ koordinátarendszer csak a térdimenzió (ami az idődimenzió egyik leképzési formája) egyik leképzési formája, azaz a leképzés leképzése. Ami szemléletes és matematikailag jól kezelhető, viszont félrevezető és megtévesztő fizikailag, hisz formailag teljesen eltér a valós időgeometria formavilágától. Ennek a figyelmen kívül hagyása sikeresen tévútra vitte a fizikusokat és matematikusokat egyaránt, hosszú időn keresztül, amely zsákutcából csak az időfizikai világmodell kidolgozása jelentett kiutat a XX. század utolsó évtizedében.

Mindebből az is következik, hogy a több pontból álló ponthalmazok térdimenziói összeadhatók. Egy n pontból álló létező halmaz maximum (n-1)tD-s lesz, amit az összevonás módjától függően ábrázolhatunk többféle térdimenzióban a szemléletesség érdekében. Ha 1tD-ben ábrázoljuk: egy n pontból álló szakaszt kapunk. Ha 2tD-ben ábrázoljuk: síkot kapunk (ez lehet kör vagy négyzet, de bármilyen más síkidom alakú is), ha 3tD-ben: gömböt kapunk (ez lehet gömb vagy kocka, de bármilyen más térbeli test alakú is). További következmény, hogy két (n és m pontból álló) halmazból lehet egy n+m halmazt képezni egy közös térbeli beágyazási környezetben, ami lehetővé teszi a halmazokkal végzett különböző műveleteket (unió, metszet, különbség).

Mindebből az is következik, hogy a fizikai térdimenziók és idődimenziók nem összeadhatók, mert különböző jelenségekről van szó. Attól még, hogy az idődimenziót térdimenziós kiterjedésbe képezzük le a szemléletesség kedvéért, nem válik térdimenzióvá. Nem lehet a kettőt összevonni. Tehát amikor téridőről beszélünk az időfizikában, akkor nem a tér és idő összevonását értjük ez alatt, hanem az idődimenzió olyan időgeometriai jellemzőjét, aminek leképzése térdimenzióba történik és lehetővé teszi a benne ábrázolt ponthalmazok szerkezetének értelmezését, fizikai és matematikai modellezését, különböző célok érdekében.  Ezért az időgeometria matematikai értelmezése nem történhet meg a térdimenzió és az idődimenzió értelmezése nélkül. Mert ezek mind logikusan egymásra épülnek.

3. MATEMATIKAI SZÁMDIMENZIÓ

Matematikailag a számok halmaza egy irány nélküli mennyiség, tehát nincs kiterjedése fizikai értelemben véve. A szám fogalma elméleti konstrukció, amivel elemek mennyiségét tudjuk ábrázolni és összehasonlítani, hogy aztán különböző műveleteket végezhessünk velük (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, logvonás). Ezek az elemek lehetnek pontok vagy ponthalmazok is. A számok ábrázolása történhet egy számegyenessel, térbeli kiterjedésként vagy valamely számrendszerben, a hozzá tartozó számjegyekkel, helyiértékes rendszerben felsorolva (leírva) őket. A kettő együtt is ábrázolható: a számegyenesen (merőleges rovátkákkal) kijelölt pontokhoz rendelt (odaírt) számjegyekkel. De a számok mind a fizikailag létező jelenpontok (idődimenziók) térbeli leképzéseinek (kiterjedéseinek) matematikai leképzései, amik mindig végesek, vagyis csak a részhalmazát képezik a számok teljes halmazának. Ugye bármekkora számegyenest is rajzolunk egy bármekkora papírra, annak mindig véges lesz a mérete, ezért mindig csak egy végesen kicsiny részét ábrázolja a teljes elméleti számegyenesnek. És csak véges egész, illetve véges tört számokat tudunk ábrázolni (a számítógépek is csak ezekkel számolnak), mert a végtelen egészek és végtelen törtek számjegyekkel ábrázolhatatlanok (külön jelöléseket igényelnek), illetve a számegyenesen bejelölhetetlenek (rovátkával meghatározhatatlan a pozíciójuk). Ebből következik, hogy a számok halmaza teljes egészében nem létezik fizikai formájában. Sosem létezett és sosem fog létezni, mivel a halmaz tartalmát (elemeit) leíró szabályok a végtelenségig ismételhetők, a végtelen pedig fizikailag nem létező jelenség.

A matematikai számdimenzió tehát tisztán elméleti konstrukció, aminek helytelen kezelése számos félreértésre ad lehetőséget, amennyiben fizikai jelenségekre, tényleges létezőkre próbáljuk meg vonatkoztatni. Ezért a fizikai dolgok matematikailag csak modellezhetők, de a matematikai konstrukciók nem helyettesíthetik a fizikai jelenségeket, mert nem azonosak velük. A kettőt nem szabad összekeverni. A számdimenzió a térdimenzióra épül, ami az idődimenzióra épül, ami a létezés alaptulajdonsága (és nincs ennél alapvetőbb alap). A számdimenzióra pedig további, különféle dimenziók (mérési eredmények, mennyiségi változók) építhetők rá, mert semmi sem korlátozza a leképzések lépcsőjének fokszámát. Tehát bárhányszor (véges számban) megismételhető az a logikai művelet, ami során egy leképzés leképzését újra leképezzük. Ugyanez történik a filozófiában is: az elvonatkoztatott fogalomból készítünk egy újabb elvonatkoztatott fogalmat, létrehozva az elvont fogalmak filozófiai rendszerét. Ugyanez történik a nyelvészetben is: egy szóból készítünk egy újabb szót (toldalékolás, összevonás, hasonlatképzés), létrehozva a szavak rendszerét.

A fentiekből következik még, hogy fizikailag csak a véges egész és tört számok léteznek, amik csak pozitívak és nullától különbözők lehetnek. Tehát a valóságban nincs olyan, hogy nulla (a semmi nem létezik) és nincs olyan, hogy mínusz mennyiség (n mennyiségből nem vehető el n+1 mennyiség). Hogy egy egész szám fizikailag pontot (elemet) vagy ponthalmazt jelöl-e, attól függ, hogy a vizsgált fizikai létező halmaz esetében beszélhetünk-e tört számokról vagy sem? Ha nem, akkor az egész szám az elemek számát jelöli, ha igen, akkor a ponthalmazok számát. Az elemek száma ekkor a legkisebb ábrázolható törtszámnak fog megfelelni.

Mit kezdjünk akkor az olyan végtelen törtszámokkal, mint a Pi és más transzcendens számok? Hisz a kör és gömb fizikai létezők, a kerületük, felszínük, térfogatuk leírására szolgáló képletekben szereplő Pi viszont fizikailag nem létezik. Így a képlet eredménye is nem létező mennyiség lesz. Vagyis a valós fizikai mennyiség matematikailag meghatározhatatlan, csak közelíteni lehet hozzá, véges lépésben. Ez szükségszerű következménye a több lépcsős leképzéseknek, amik során minden lépésnél információ vész el a modellből, növelve a pontatlanságot. Ami azt jelenti, hogy a matematika, mint segédtudomány valójában alkalmatlan a fizikai valóság helyes leírására, ábrázolására. De ez minden más tudományról (így a fizikáról, időfizikáról, filozófiáról, stb.) is elmondható, hisz minden tudásunk valamilyen leképzése az észleleteinknek. Akkor mondhatjuk azt, hogy a tudomány, mint módszertan, csak a valóság megközelítésére jó, a pontos megismerésére alkalmatlan? A válasz: igen. És ezzel elértünk az ismeretelméleti kutatásunk végére. Mert bebizonyítottuk, hogy biztosan tudható, hogy nem tudhatunk mindent. Így mindig maradnak megválaszolatlan kérdések a számunkra.

Készült: 2025.01.31.

Vissza a tartalomhoz