SZÖGFÜGGVÉNYEK

A szögfüggvények kiszámításával először az indiai matematikusok foglalkoztak az ókorban, majd a görögök és perzsák is hozzátették a maguk eredményeit a ma ismert trigonometriához. Ezen összefüggések alapvető fontosságúak a geometriában, mert minden alakzat felbontható sokszögekre, amik felbonthatók háromszögekre, azok pedig két derékszögű háromszögre. Így az oldalhosszúságok és csúcsszögek kiszámolhatók egymásból. A szögfüggvények meghatározhatók az egységsugarú körbe rajzolt forgásszög-végpontok koordinátáival is, ami lehetővé teszi a derékszögnél nagyobb, illetve negatív argumentumokra való kiterjesztésüket.

A szögfüggvények a következők:
sin alfa = a/c (szinusz) jelentése: szöggel szemközti befogó/átfogó.
csc alfa = c/a (koszekáns) jelentése: átfogó/szöggel szembeni befogó.
tg alfa = a/b (tangens) jelentése: szöggel szemközti befogó/szög melletti befogó.
ctg alfa = b/a (kotangens) jelentése: szög melletti befogó/szöggel szemközti befogó.
sec alfa = c/b (szekáns) jelentése: átfogó/szög melletti befogó.
cos alfa = b/c (koszinusz) jelentése: szög melletti befogó/átfogó.

Ezek arkusz (inverz) függvényeivel lehet a szöget kiszámítani:
arcsin a/c = alfa (arkuszszinusz).
arccsc c/a = alfa (arkuszkoszekáns).
arctan a/b = alfa (arkusztangens).
arcctg b/a = alfa (arkuszkotangens).
arcsec c/b = alfa (arkuszszekáns).
arccos b/c = alfa (arkuszkoszinusz).

Megjegyzés:
A sinus szó jelentése: üreg, öböl, hajlat, ferdeség.
A cosinus szó jelentése: complementi sinus, a kiegészítő szög sinusa.
A tangens szó jelentése: érintő.
A secans szó jelentése: szelő.
Az arcus szó jelentése: ív.

Amint az látható, a szinusz reciproka a koszekáns, a koszinusz reciproka a szekáns, a tangens reciproka a kotangens. Logikus lett volna - a könnyebb megjegyezhetőség érdekében -, ha a reciprok függvényeket ko- előtaggal látják el a matematikusok, de ez a nyelvi bravúr valamiért nem sikerült nekik. Nem is tartozik a diákok kedvenc témái közé a trigonometria. Ezért az alábbiakban bemutatom a saját fejlesztésű, alternatív elnevezéseimet a szögfüggvényekre.

A derékszögű háromszög alkotó elemeinek megnevezési szabályai:
1. Az átfogó oldal betűjele legyen: A(o). Ábrázoláskor mindig ennek kijelölésével kezdünk, mert egy tetszőleges formájú és állásszögű derékszögű háromszög vizsgálatakor az átfogót a legkönnyebb felismerni, tehát ez a legalkalmasabb viszonyítási pontnak.
2. Az A(o)-val szemközti derékszögű csúcs: A(cs), ennek szöge: A(sz).
3. Az A(cs)-tól a helyzetétől függetlenül mindig jobbra (órairányban körbejárva a háromszöget) található a B(cs), aminek szöge: B(sz) és ezzel szemközt található a B(o) befogó oldal.
4. Az A(cs)-tól balra található a C(cs), aminek szöge: C(sz) és ezzel szemközt található a C(o) befogó oldal.
5. Az egységsugarú kör origója a B(cs)-nak felel meg, a sugara: A(o).

Az ÁBSZ (Átfogó Befogó Szemközti) függvényrendszer a derékszögű háromszög három alapvető szögfüggvényét írja le ezen megnevezési szabályok alapján, amiből a további szögfüggvények levezethetők. Az alapfüggvények nevei azt jelzik, hogy melyik oldalt (számláló) kell elosztani a tőle balra lévő oldallal (nevező). Így könnyebb megjegyezni és értelmezni a függvényeket és reciprokaikat, inverzeiket.

A függvényrendszer összefüggései és képletei:

1. Átfogó függvény: átfogó/befogó az átfogótól balra. (régi neve: szekáns)
átf B(sz)=A(o)/C(o)

2. Befogó függvény: befogó az átfogótól balra/befogó az átfogótól jobbra. (régi neve: kotangens)
bef B(sz)=C(o)/B(o)

3. Szemközti függvény: befogó az átfogótól jobbra/átfogó. (régi neve: szinusz)
szem B(sz)=B(o)/A(o)

4. Reciprok átfogó függvény: befogó az átfogótól balra/átfogó. (régi neve: koszinusz)
rát B(sz)=C(o)/A(o)

5. Reciprok befogó függvény: befogó az átfogótól jobbra/befogó az átfogótól balra. (régi neve: tangens)
rbe B(sz)=B(o)/C(o)

6. Reciprok szemközti függvény: átfogó/befogó az átfogótól jobbra. (régi neve: koszekáns)
rsze B(sz)=A(o)/B(o)

Ezek ív szögfüggvényei:

7. Ívátfogó függvény: (régi neve: arkuszszekáns).
íát A(o)/C(o)=B(sz)

8. Ívbefogó függvény: (régi neve: arkuszkotangens).
íbe C(o)/B(o)=B(sz)

9. Ívszemközti függvény: (régi neve: arkuszszinusz).
ísze B(o)/A(o)=B(sz)

10. Ívreciprok átfogó függvény: (régi neve: arkuszkoszinusz).
írá C(o)/A(o)=B(sz)

11. Ívreciprok befogó függvény: (régi neve: arkusztangens).
írb B(o)/C(o)=B(sz)

12. Ívreciprok szemközti függvény: (régi neve: arkuszkoszekáns).
írsz A(o)/B(o)=B(sz)

A függvénynevek hárombetűs rövidítései:
átf: sec.
bef: ctg.
szem: sin.
rát: cos.
rbe: tan (tg).
rsze: csc.
íát: arc sec.
íbe: arc ctg.
ísze: arc sin.
írá: arc cos.
írb: arc tg.
írsz: arc csc.

Készült: 2023.08.20. - 2026.04.08.

Vissza a tartalomhoz