Fraktálok

A Menger-szivacs (néha Sierpinski-szivacs vagy Menger–Sierpinski-szivacs) egy fraktál, amelyet úgy kapunk, hogy egy kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet, amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást rekurzívan ismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta, aki a topológiai dimenzió tulajdonságainak vizsgálata közben fedezte fel.

Sierpinski szönyeg. A Menger szivacs síkbeli változata

A Menger-szivacs a Cantor-halmaz és a Sierpinski-szőnyeg térbeli megfelelője; a szivacs minden lapja Sierpinski-szőnyeg, és minden (lap- és test-) átlója Cantor-halmaz. A szivacs egy kompakt halmaz, Lebesgue-mértéke 0, topológiai dimenziója 1, Hausdorff-dimenziója log(20)\log(3) (kb. 2,727). Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási kockába, ezért véges halmaz. Ezért a Heine–Borel tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.

Négy mélységű Menger szivacs

A Menger-szivacs a Sierpinski-szőnyeghez hasonlóan konstruálható:

Vegyünk egy kockát
Osszuk fel minden oldalát 9 négyzetre; ezek 27 kis kockára osztják a kockát, Rubik-kocka módjára.
Eltávolítjuk minden lap középső kockáját, és a nagy kocka középső kockáját.
Megismételjük az első három lépést minden kis kockára.

Megner szivacs készítése lépésenként

Ezzel az eljárással a kocka egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Menger-szivacs marad.
Forrás: Wikipédia