Subject: Néhány kockadobással kapcsolatos feladat
From: "Mentette: a Windows Internet Explorer 9"
Date: Thu, 15 Sep 2011 16:05:47 +0200

Néhány kockadobással kapcsolatos
feladat

Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6}

Az összes esetek száma: 6

1.
Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost
dobunk?

A kedvező esetek száma: 1 (hatost
dobtunk)

Az összes esetek száma:
6

2.  Mennyi a valószínűsége, hogy szabályos kockával páros számot
dobunk?

A kedvező esetek száma: {2}; {4}; {6} Þ 3 db

Az összes esetek száma:
6

3.
Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legalább hármast
dobunk?

A kedvező esetek száma: {3}; {4}; {5}; {6}Þ 4 db

Az összes esetek száma:
6

4.
Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb hármast
dobunk?

A kedvező esetek száma: {1}; {2}; {3}Þ 3 db

Az összes esetek száma:
6

5.
Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy prímszámot
dobunk?

6.
Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hármasnál kisebbet
dobunk?

7.
Írjon le egy olyan véletlen kísérletet, amelyben egy
Ön által előre megadott esemény bekövetkezésének valószínűsége
0,25!

8.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával
kétszer egymás után dobva az első szám páros, a második szám
páratlan?

Első megoldás:

Az összes esetek száma: 36

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

A kedvező esetek száma:  9

{2;1}; {2;3}; {2;5}

{4;1};
{4;3}; {4;5}

{6;1}; {6;3}; {6;5}

Második megoldás:

H

1.
(páros)

2.
(páratlan)

Kedvező esetek
száma

L

3

3

9

Harmadik megoldás: Fogjuk fel a kísérletet két esemény
szorzataként.

Az első dobás páros. Az első dobás valószínűsége
3/6.

A második dobás páratlan. Az második dobás valószínűsége
3/6.

Az eredmény jó. Kérdés, hogy a módszer
jó-e? Az hogy ellentétes paritású számokat dobok, két olyan esemény szorzata,
amelyek kizárják egymást.

Sejtés: Egymástól független események
szorzatának a valószínűsége megegyezik az események valószínűségének a
szorzatával.
/ P(A×B) = P(A)×P(B)  ha A és B
független./

Mikor független
két esemény?

Vajon mivel egyezik meg két tetszőleges
esemény szorzatának a valószínűsége?

Mivel egyezik meg két esemény összegének
a valószínűsége?

A klasszikus valószínűség
fejlődése során is sok probléma vetődött fel.

9.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával
kétszer egymás után dobva az egyik szám páros, a másik szám
páratlan?

Első megoldás:

A kedvező esetek száma: ps + pt;  pt + ps  Þ 2 db

Az összes esetek száma: ps +
pt;  pt + ps;  pt + pt;  ps + ps Þ 4 db

Második megoldás: Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát
hatféle lehet. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros volt,
akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás páratlan
volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.)

A kedvező esetek száma:
6×3 = 18

Az összes esetek száma: 6×6 = 36

Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát
a valószínűsége 1. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros
volt, akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás
páratlan volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.) A második
dobás valószínűsége 3/6.

10.
Egy szabályos játékkockát egymás után ötször
feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy minden dobás páros
szám?

11. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy
dobókockával kétszer egymás után dobva különböző számot dobunk?

Első megoldás:

Az első dobás bármi lehet.  Ez 6 lehetőség. A második dobásnál 5
számot dobhatunk.

A kedvező esetek száma:
6×5 = 30

Az összes esetek száma: 6×6 = 36

Második
megoldás:

Az összes esetek száma: 36

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

A kedvező esetek száma:
30

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége
1. A második dobás nem lehet ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás ötféle
lehet. A második dobás valószínűsége 5/6.

12. A „Ne nevess korán!" társasjátékban a játékosok csak 6-ost
dobva tehetik bábujukat a startmezőre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Nóri
az első 6-ost

a) másodszorra
dobja;

b) ötödszörre
dobja?

Első megoldás:

Az összes esetek száma:
36

A kedvező esetek száma: 5

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

Második
megoldás:

a) Az első dobás nem hatos, ennek a valószínűsége 5/6. A
második dobás hatos, ennek a valószínűsége 1/6.

b) Az első öt dobás nem hatos, ennek a valószínűsége
(5/6)4. A hatodik dobás hatos, ennek a valószínűsége 1/6.

16. Egy dobókockával 8 dobást
végeztünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 3-szor dobunk 1-est?

17.  Egy szabályos dobókockával az első hatos
dobásig dobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy dobássorozat
legfeljebb 5 dobásból áll!

18. Ha 100-szor feldobunk 6
kockát, akkor várhatóan hányszor fordul elő, hogy 6 különböző számot
látunk?

Feldobunk két kockát. Az eseménytér:
{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

Az összes esetek száma: 36

Felvetődhet a kérdés, hogy miért kell megkülönböztetni a
{3;4} és a {4;3} dobást, amikor általában ugyanolyan színű
kockával dobunk?

A válasz egyszerű: mert a tapasztalt
valószínűség és a számított valószínűség ekkor egyezik
meg.

Képzeljük el, hogy a kockák színe
halványsárga és halványzöld. Ekkor mindegy, hogy ki nézi a dobásokat egy színvak
ember vagy egy nem színvak ember. A dobások ugyanazok.

Könnyebbé teszi az esetek megszámolását a
következő táblázat:

1.  Két szabályos
játékkockát egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy két egyenlő számot
dobunk?

Első megoldás:

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

Az összes esetek
száma: 36

A kedvező esetek száma: 6

Második
megoldás:

Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége 1.
A második dobás ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás egyféle lehet. A
második dobás valószínűsége 1/6.

2. Feldobunk két
kockát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott pontok összege  a) 6;    b) 7 lesz?

Első
megoldás:

Második megoldás:

Összes esetek száma:
36

a) Kedvező esetek száma: 1+
5;    5 + 1;  2 + 4;    4 + 2;    3 + 3     Þ        5
db

b) Kedvező esetek száma: 1+
6;    6 + 1;  2 + 5;    5 + 2;    4 + 3;   3 + 4      Þ        6
db

3.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával
dobva legalább 6 lesz a dobott pontok összege?

Ha megvizsgáljuk a táblázatot, észrevehetjük, hogy a
komplementer esemény valószínűségével is dolgozhatunk.

4.
Két kockával dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy
a dobott számok összege 6-nál kisebb?

Első megoldás:

Második megoldás:

Az összes esetek száma 36.

A kedvező esetek száma: 10

2 = 1+1

3 = 1+2 = 2+1

4 = 1+3 = 3+1= 2+2

5 = 1+4 = 4+1 =2+3 = 3+2

5. Két kockával dobva egyszerre mekkora valószínűséggel lesz a
kapott számok nagyobbika 3?
4/36

6. Egy szabályos dobókockát egymás után kétszer feldobunk.
Mennyi a valószínűsége, hogy másodszorra nagyobb számot dobunk, mint
elsőre?

{1;1}; {1;2}; {1;3}; {1;4}; {1;5}; {1;6}

{2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}

{3;1}; {3;2}; {3;3}; {3;4}; {3;5}; {3;6}

{4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}

{5;1}; {5;2}; {5;3}; {5;4}; {5;5}; {5;6}

{6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}

Kedvező esetek száma:
15

Összes esetek száma:
36

7. Két kockával
dobunk egyszerre, aztán ezt megismételjük.

a) Mennyi a
valószínűsége, hogy a dobott számok összege mindkétszer 10
lesz?

b*) Mennyi a
valószínűsége, hogy a dobott számok összege egyforma lesz?

8. Mennyi annak a valószínűsége, hogy felül különböző számokat
látunk, ha egyszerre dobunk

a) két
kockával;
30/36

b) három
kockával?
(6∙5∙4)/512

9. Melyik pontszámösszeg a legvalószínűbb három szabályos
kockával dobva?