Mérés
A kísérlet

   Ha a jelenségek megfigyelésekor azok létrejöttének feltételeit önkényesen és szisztematikusan választjuk meg, akkor kísérletezünk. A megfigyelés nem mindig elegendő a jelenség mérlegeléséhez, ezért szükséges különféle kísérleteket végezni.
   A kutatás hatékony eszköze a kísérlet. A kísérletekkel megfelelő időben, a feltételek helyes megválasztásával, megfelelő módosításával vizsgálhatjuk a jelenségeket és a jelenségeket befolyásoló tényezők hatását is. A kísérlethez általában hozzátartozik a feltételek kvantitatív meghatározása, azaz mérése is.
   Az új jelenségek megfigyelése után előkísérleteket végzünk, majd bizonyító kísérletekkel igazoljuk az elméleti feltételezéseket vagy az eredményeket.
   A kísérletet mindig előre meg kell tervezni, hogy a megválaszolandó kérdések ismeretében helyesen válasszuk meg a megfelelő módszert és a megfigyelések, mérések számát. Ehhez nyilvánvalóan szükséges az elméleti kérdések tisztázása is. Meg kell tervezni, hogy milyen körülmények között mérhetünk reprodukálható adatokat és hogyan, milyen módszerrel gyűjtsük, rögzítsük azokat.

A mérés

   Egy mérés elvégzése mindig kísérlet, mert a vizsgált rendszerbe beavatkozunk — ismert környezetben, többé-kevésbé jól definiált feltételek mellett hatást gyakorlunk — és megfigyeljük az erre adott választ (jelet).
   A mérés a megmérendő mennyiség(X) és az alapul választott mértékegység([X]) összehasonlítása. A méréskor meg kell állapítani a mérőszámot ({X}), azaz azt, hogy a megmért mennyiség hányszorosa az alapul választott mértékegységnek.
   Precízen akkor járnánk el, ha a "hányszorosa, hányadrésze" kifejezést használnánk. A matematikában azonban a többszörös nem mindig jelent nagyobb mennyiséget, tehát amikor egy mennyiség vagy értékegység többszöröséről beszélünk, ezen az 1-nél kisebb szorzóval való szorzatot is értjük.
   A mérés eredménye tehát a számértéknek (mérőszámnak) és a mértékegységnek a szorzata (J. C. MAXWELL nyomán):

mennyiség = mérőszám x mértékegység.

   Ilyen meghatározott mennyiségek például a következők: h = 2 m magasság, v = 36 m/s sebesség, U = 220 V feszültség. Figyeljünk arra, hogy ezekben a példákban a mennyiséget jelölő betűk nem csupán a számértéket jelentik, hanem a számértéknek és a mértékegységnek a szorzatát. (A szorzópontot azonban nem tesszük ki a számérték és a mértékegység jel közé.) Az eredmény megadása tehát
X = {X} [X]
formában történik, azaz jelezzük, hogy milyen egységben mérjük az adatot (pl. keverékünk tömege : m = 5.23 g)

Alapfogalmak:


   A mennyiség jelenség, tárgy vagy anyag minőségileg megkülönböztethető és mennyiségileg meghatározható tulajdonsága.
   A mérőszám egy mennyiség értékének és az érték kifejezésében használt egységnek a hányadosa.
   Az egység (mértékegység) megállapodás alapján elfogadott és definiált konkrét mennyiség, amellyel az ugyanolyan fajtájú más mennyiségek az e mennyiséghez viszonyított nagyságuk kifejezése céljából összehasonlíthatóak
   A mennyiség értéke valamely konkrét mennyiség nagyságának kifejezése egy szám és egy egység szorzataként.
   Prefixumok: A mértékegységeket (egységeket) prefixumokkal használjuk, ezek az eredeti egység többszörösei, vagy törtrészei, általában 10k*3 (k=-8,...,-1,1,...,8) szorosai. (Kivétel: deci, centi, deka,hekto)
 
PrefixumJelSzorzóPrefixumJelSzorzó
dekada101decida10-1
hektoh102centic10-2
kilok103millim10-3
megaM106mikrom10-6
gigaG109nanon10-9
teraT1012pikop10-12
petaP1015femtof10-15
exaE1018attoa10-18
zettaZ1021zeptoz10-21
yottaY1024yoctoy10-24

 
   A mérés nagyon ritkán végezhető el közvetlen összehasonlítással, legtöbb esetben valamilyen műszerrel mérünk, ami a mérendő X mennyiséget egy Y jellé alakítja, aminek mérőszáma (mutató kitérés, számkijelzés) már közvetlenül leolvasható. A technika fejlődésével a mérőműszerek is egyre bonyolultabbá válnak - kevés olyan jelenség van, ami egyszerű, alapműszerrel mérhető. A bonyolultabb mérésekhez már több egységből álló mérőberendezés szükséges, ezek részei általában: az érzékelő- (szonda), jelátalakító-, erősítő-, kijelző-, beavatkozó- és programozó egység.
   A mérőműszerben a jelátalakítás (jelátvitel) fizikai (esetleg kémiai) úton megy végbe, de tudni kell, hogy az adott kimenőjel értékének mekkora mért mennyiség felel meg, azaz a mérőeszközt hitelesíteni (kalibrálni) kell. A bemenőjel és a kimeneti jel közti összefüggés a műszer átviteli függvénye. Ezt elméletileg is kiszámíthatjuk, de legtöbb esetben kísérletileg határozzuk meg. Az átviteli függvényt kalibrációs görbével, táblázatosan, műszerskálával, vagy valamilyen matematikai formulával adhatjuk meg.
   A műszerek kijelzése lehet analóg pl. mutató kitérése, vagy számkijelzős (digitális), ez utóbbi egyre inkább terjed.

   A műszerek jellemzői:

érzékenység : a bemenőjel változásával mennyit változik a kimenőjel méréstartomány : a legkisebb és a legnagyobb jel nagysága, aminek átvitelére illetve kijelzésére a műszer alkalmas pontosság : jól definiált körülmények között a műszer mekkora hibával mér.

A mérés pontossága
   A gyakorlati életben a mérendő mennyiség valódi értékét meghatározni nem tudjuk, csak közelíthetjük. Ez azt jelenti, hogy sem az érzékszerveink sem a mérőműszerek nem tökéletesek, a kísérleti körülmények is változhatnak a mérés során, illetve a mérő személy is tévedhet a leolvasásnál. Emiatt csak adott (véges) pontossággal tudjuk meghatározni valamely jellemző értékét. Ezeket a mérési hibákat két csoportra oszthatjuk:

  1. Torzítás, vagy szisztematikus hiba. Ez adódhat a körülmények helytelen megválasztásából, vagy például a mérőműszer nullpontjának eltolódásából. Ezt a hibát általában úgy tudjuk kiküszöbölni, hogy több, egymástól független mérési módszerrel mérjük meg az adott jellemzőt, vagy a mérési körülményeket javítjuk valamilyen módon.
  2. Pontatlanság, vagy véletlen hiba. E hiba a mérőműszerek korlátozott pontosságából (átviteli függvényének ingadozásából) adódik és ezeket a szisztematikus hibáktól eltérően nem tudjuk teljesen kiküszöbölni. Általában jóval kisebbek a mért értéknél és nagyságuk csökkenthető a párhuzamos mérések számának növelésével. Ezek a hibák véletlenszerűen egyszer hozzáadódnak, máskor meg levonódnak a pontos (vagy valódi) értékből, így - kellően sok mérés esetén - átlagoláskor kompenzálják egymást. A véletlen hibák hatása úgy jelenik meg, hogy ha a mérési adatainkat normális eloszlású valószínűségi változónak tekintjük, akkor a mért jellemző valódi értékét a várható érték, hibáját a korrigált szórás jellemzi.
  3. Becslés. A mért értékek utolsó számjegye már bizonytalan, ha analóg műszerrel mérünk, akkor ezt általában becsüljük, a digitális műszerről leolvasott adat utolsó számjegye pedig legtöbbször kerekített érték. Például ha egy tized fok beosztású hőmérőről 68.32 °C ot olvasunk le, akkor tudjuk, hogy a higanyszál a 68.3 és a 68.4 °C között volt, közelebb a 68.3 °C-hoz, és a 0.02 °C-ot úgy becsültük. A méréseinknél általában páratlan számú ún. párhuzamos mérést végzünk, minimálisan hármat, és a túlságosan kiugró értékek figyelmen kívül hagyásával számoljuk ki a mért jellemző értékét.
A mérés hibája

A mérendő mennyiség valódi értéke (M) és a mért érték (x) közötti különbség az abszolút hiba (D ):

D = ˝M - x ˝

Mivel a mérendő mennyiség valódi értékét legtöbbször nem ismerjük, és D értéke is meghatározhatatlan, azonban megadhatunk egy abszolút hibakorlátot (a ), amelyet az x közelítő érték abszolút hibája D nem haladhat meg:

x – a Ł M Ł x +a

Az x -a érték alulról, míg x + a felülről közelíti a mérendő mennyiség valódi értékét.
A mérés pontosságának megítélésére szolgál a relatív hiba (Ń), ami az abszolút hiba és a mért mennyiség hányadosa:
Értékét %–ban vagy ‰–ben szokás megadni. Mivel értékét nem ismerjük az esetek többségében, ezért itt is egy olyan legkisebb értéket szokás megadni, amit a relatív hiba nem haladhat meg, ez a relatív hibakorlát (d ):
A relatív hibakorlát szerepel általában az alapműszereken %–ban megadva. Ha egy árammérőn 1,5 szerepel (mint pontossági osztály), az azt jelenti, hogy a megengedett maximális hiba 1,5 %. 

A mérés megbízhatósága

A mért érték meghatározását általában véletlen események befolyásolják, ezért a mért adatot valószínűségi változónak kell tekinteni, ami legtöbbször normális eloszlást mutat. (Ennek feltétele, hogy a mérés feltételeit helyesen válasszuk meg és a szisztematikus hibákat kiküszöböljük.) Ez azt jelenti, hogy a mért értékek a valódi érték közelében vannak, és nagyszámú mérés esetén kb. ugyanannyi mérés van a valódi érték felett mint alatt, valamint a mérések kisebb–nagyobb ingadozást mutatnak. A mérések eloszlását harang–görbével (Gauss– függvény) jellemezhetjük

ahol m az — x valószínűségi változó — várható értékét (a jellemző valódi értéke), míg s a szórását (hiba) jelenti. Az ábrán folytonos eloszlásfüggvények láthatók, a gyakorlati életben — a méréseknél is — diszkrét eloszlásban fordulnak elő a mért értékek.
Ahhoz, hogy becsülni tudjuk m és s értékét, ismerni kellene az eloszlást -ˇ–től +ˇ –ig terjedő intervallumban. Ennek meghatározása azonban nem lehetséges, ezért mérési adatok alapján becsüljük meg értéküket. A normális eloszlású valószínűségi változó — ilyenek a mérési adatok is — várható értékét (a valódi érték) legjobban a mért értékek számtani középértékével becsülhetjük:

A számtani középérték kiszámításához valamennyi mérési adatot figyelembe kell venni. Egy adat elhagyása csak abban az esetben lehetséges, ha annak megbízhatósága kétséges, vagy kirívóan durva hibát követtünk el mérés közben (pl.: elírtuk, vagy rosszul olvastuk le a mérési adatot). Önkényes korrekciókat semmi esetre sem szabad végezni, a hibás kísérleti adatok elhagyására megfelelő szabályok vannak. A mérő– adatgyűjtő rendszereknél a mérési adatok un. hihetőség vizsgálatára megfelelő algoritmusokat használnak, amikkel a durva hibákat (pl. vezetékszakadás) ki tudják szűrni.
A mérési adatok reprodukálhatóságának mértéke a valószínűségi változó szórása, ami megadja, hogy a mért értékek milyen mértékben térnek el a középértéktől. Minél kisebb a szórás, annál megbízhatóbb a mérési sorozat, a mérési eredmények annál kevésbé ingadoznak és annál keskenyebb a haranggörbe, aminek az x= m ± s értéknél inflexiós pontja van.
Mivel m–t és az eloszlásfüggvényt sem ismerjük, ezért s értékét csupán becsülni tudjuk a tapasztalati szórásnégyzettel:

Mivel a mérési adatokból az –t már kiszámítottuk, ezért eggyel kevesebb információval számolhatunk, ha torzítatlanul kívánjuk a szórást becsülni. (A várható érték ismeretében csak n 1 mérési adatunk független.) Ezért a mérési adatok megbízhatóságának jellemzésére a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet vagy varianciát (s2), illetve ennek négyzetgyökét a standard deviációt (s ill. sd) használják.

A mérések középértékének pontosságát a középérték hiba négyzetgyöke, az un. standard hiba adja meg:

az összefüggésből kitűnik, hogy a mérések számának növelésével a véletlen szórásból származó hiba elvileg tetszőlegesen kis értékre csökkenthető. A gyakorlatban a hiba csökkentésének csak addig van értelme, míg a módszer pontosságának nagyságrendjét el nem érjük. (Pl. cm beosztású méterrúddal legfeljebb mm nagyságrendig van értelme mérni — megadni a mért értéket —, mert a mm–eket még becsülni tudjuk.)
A mérések közben is kiszámolhatóak ezek az adatok, így a mérés hibája folyamatosan ellenőrizhető.
A standard deviáció is folyamatosan számítható és ha a mérések standard deviációját már nem tudjuk csökkenteni, akkor a mérési sorozatot befejezhetjük.
A mérési adatokat ± sd alakban szokás megadni, a mért értékkel azonos számú vagy legfeljebb egy decimális értékkel több számjeggyel.
Mérési adatok megadása

   Mérőműszereink pontossága nem végtelen. A mérőeszközök pontossága függ a szerezetüktől is, azaz attól, hogy a mérendő mennyiséget milyen módon alakítjuk át a kijelzett adattá. Ezért általában a műszereken meg van adva a pontosságuk, precizitásuk.
   A mért értékeket csak bizonyos pontossággal tudjuk leolvasni. A digitális kijelzővel szerelt műszerek legfeljebb 4, vagy 6 számjeggyel jelzik ki a mérési adatot. A skálával ellátott műszerek (pl. higanyos hőmérő) csak 3-4 jegyű leolvasást tesznek lehetővé, a skálabeosztásától függően. Nyilván befolyásolhatjuk mérésünk pontosságát, akkurátusságát megfelelő mérőeszköz megválasztásával. (Méteruddal nem mérünk mm pontossággal.)
   Ezért szükséges meghatározni, hogy a mérési adatokat, illetve a belőlük számolt értékeket hány számjegyből álló adatsorral "értékes jeggyel" adhatjuk meg.
   Az értékes jegyek meghatározásánál a vezető nullákat nem számítjuk, az első nem 0 számjeggyel kezdjük a meghatározást. Ha az adat táblázatban van, vagy normál alakban van megadva, akkor az utolsó zérus számjegy(ek)et is figyelembe kell venni az értékes jegyek számításához. Nyilván ha a számítások eredménye ezt indokolja, akkor az eredmény megadásánál is szerepelnie kell a zérusnak az utolsó tizedes(ek) között.
   Legegyszerűbb, ha a számok normál alakját vesszük alapul (+0,xxxx10+yy), ekkor az értékes jegyek száma a tizedes vesző/pont után megadott számjegyek száma.
   Hogy a mérésünk megfelelő pontosságú legyen több mérést (általában páratlan számút) végzünk, és a mérések átlagával közelítjük a mért mennyiség valódi értékét. A mérési adatok hibáját pedig a korrigált kísérleti szórással (standard deviáció) becsüljük meg.
   Ezek figyelembevételével a mérési adatokat csak olyan pontossággal érdemes megadni hogy az adat hibájából legfeljebb két értékes jegy szerepeljen.

Az értékes jegyek meghatározásához az alábbiakban látható néhány példa:
12,1231,2123E+15 értékes számjegy
0,01211,121E-23 értékes számjegy
1,2101,210E04 értékes számjegy
0,1021,02E-13 értékes számjegy
6,022x10236,022E234 értékes számjegy
12,3012 ~ 12,30 (kerekítve)1,230E+14 értékes számjegy

Alkalmazzuk az előzőekben leírtakat egy mérési eredmény kiszámítására

Valamely anyag olvadáspontjának kísérleti meghatározásakor a következő hőmérsékleteket mértük: 68,31; 66,32; 68.49; 68.18 oC.
(A hőmérő skálája tizedes beosztású volt, a század értékeket becsültük.)
x1= 68,31 oC Dx1= x1 - = -0,017 oC Dx12 = 0,00028
x2= 66,32 oC  
x3= 68,49 oC Dx3= x3 - = -0,163 oC Dx32 = 0,02667
x4= 68,18 oC Dx4= x4 - = -0,147 oC Dx42 = 0,02151
Sxi = 204,98 oC   SDxi2 = 0,04846
 
   (A második mérésnél valószínűleg rosszul olvastuk le a hőmérőt, vagy elírtuk az adatot, ezért az átlag kiszámításánál ezt az értéket figyelmen kívül hagyjuk, így is elegendő adatunk marad a mérési hiba kiszámításához, ezér mértünk négyszer.)
Az anyagunk olvadáspontjának mért értéke 68.33 ± 0.16 oC.

   Az adatot csak két tizedesjegyre adhatjuk meg, mert a hőmérő tizedes beosztású volt. A század értékeket csak becsülni tudtuk. Méréseink hibájának kiszámításakor is két tizedes pontoságot kaptunk! Pontosabb megadás semmilyen információt nem ad, ezért felesleges!

   A számolásnál felhasznált képletek:
Az átlagérték számításának képlete:   
A javított kísérleti szórás számításának képlete:   

    xi: az i-edik mért érték;
    n : a mérések száma;
    : átlag;

   A jelenleg használatos tudományos zsebszámológépeken a kijelzés beállítható. (FSE gomb
F: fix pontosságú kijelzés, ez az alapértelmezett, a gyárilag beállított;
S: tudományos (scientific) kijelzés ez a normál alak;
E: mérnöki (engenering) kijelzés, a tizes hatványkitevője 3-mal osztható.
    Statisztikai üzemmódban kiszámolható a bevitt adatok átlaga () és a standard deviáció is, aminek jele legtöbb gépen s vagy s'. (A nagyobb érték a korrigált kísérleti szórás értéke, aza a mérés hibája) Az adatok bevitele már nem egyértelmű, általában DATA (DT) gombbal történik.