1957. július 29-én született Budapesten. Vízilabdázó. Édesapja a Volán fődiszpécsere; kézilabdázó, később kötöttfogású birkózó. Édesanyja könyvkötő, majd a Volán raktárosa. Kuncz László 1967-ben a Budapesti Honvéd úszójaként kezdi pályafutását, nevelőedzője Tumpeck György. 1972-ben áttér a vízilabdázásra. A Budapesti Honvéd, majd 1976-tól az Orvosegyetem Sport Club (a Medicor OSC), 1983-tól a Vasas, 1987-től a Wuppertal, 1990-től 1992-ig ismét a Vasas játékosa. Nevelőedzője Hevesi István, Öveges László és Brandy Jenő. 1978-ban, 1983-ban és 1984-ben tagja az országos bajnokságot, 1983-ban és 1984-ben a Magyar Népköztársasági Kupát, 1992-ben a Magyar Kupát nyert együttesnek. 1978-ban az OSC-vel megnyeri a Bajnokcsapatok Európa-kupáját és a Szuper Kupát. 1984-ben a Bajnokcsapatok Európa-kupájában, 1985-ben a Kupagyőztesek Európa-kupájában és a Szuper Kupában győztes Vasas tagja. 1975-ben első felnőtt bajnoki mérkőzésén öt gólt dob a Ferencvárosnak, Gyarmati Dezső meghívja a válogatott keretbe. Első válogatott mérkőzését 1976-ban játssza Románia ellen, melyet 1985-ig további 199 követ. 1979-ben a mexikóvárosi universiadén hatodik. Az 1980-as moszkvai olimpián és az 1981-es spliti Európa-bajnokságon harmadik. Az 1982-es guayaquili világbajnokságon ezüstérmes. Az 1983-as római Európa-bajnokságon és 1984-ben Havannában az A-kategóriás nemzetközi nyílt versenyen második. Az 1985-ös szófiai Európa-bajnokságon ötödik.
A Thälmann utca (ma Fiastyúk utca) 35-37. szám alatti általános iskola (ma Hegedűs Géza Általános Iskola) tanulója. 1975-ben érettségizik a józsefvárosi Zrínyi Ilona Gimnáziumban. 1981-ben diplomázik az Egészségügyi Főiskola közegészségügy-járványügy szakán. 2003-ban sportoktatói végzettséget szerez. Visszavonulása után sportruházati boltot üzemeltet. 2002-től a Vasas, 2007 őszétől a BVSC utánpótlásedzője. Levezetésként a Senior Zugló 2000 csapatában játszik. 2007 márciusában tejboltot nyit az óbudai Búza utcában. Tamás fia a Vasas magyar bajnok vízilabdázója, László fia játékvezető.