matematika / Mértani sorozat:
Mértani sorozat:
A mértani sorozat a számok olyan sorozata,amelyben bármelyik számot az
elôzôvel osztva a hányados állandó.
A hányadost qval jelöljük.
A mértani sorozat ennedik elemét úgy kapjuk meg,hogy az elsô elemet
megszorozzuk a hányados n-1edik hatványával:
a*n=a*q (n -1).
Pl:
3*6*12 kilencedik eleme:
q=2*a=3*n=9,behejettesítve a*i=3*2(9-1)=3*2 a nyolcadikon=3*256=768,
Tehát a mértani sorozat kilencedik eleme 768.
A mértani sorozat elsô..
matematika / A számfajták:
Ćllandó továbbszámlálással keletkeztek a természetes-számo
A számfajták:
Ćllandó továbbszámlálással keletkeztek a természetes-számok.
A természetes-számokban egy,kettô,három,négy,öt,hat satöbbi,végtelen sok
szám van.
A természetes-számok jelei a számjegyek.
Két féle számjegy használatos: a + az arabszámjegyek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
A római számjegyek:i,v,x,l,c,d,m,=1 5 10 50 100 500 1000.
matematika / Másodfokú egyismeretlenes egyenlet:
Másodfokú egyismeretlenes egyenlet:
Általános, nullára redukált alakja:
a*x a a másodikon +b*x+c=0*x az ismeretlen az a*b*c*adott számok,
Az a*x a másodikon a másodfokú,a b*x az elsőfokú és c a szabad tag.
A másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldásához a következô képletet
használjuk:
x*a=(-b+cs*b a másodikon-4ketted a *c) /2*a*a*x*b=(-b-csb a másodikon-
4*a*c)/2*a.
A másodfokú egyismeretlenes egyenletnek két valós gyöke van.
Pl:
8 x a..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÉRETTSÉGI ÍRÁSBELI TÉTEL MEGOLDÁSAI
1999.
Vissza a feladatsorhoz
1. (721.) Határozza meg a következő egyenlet valós megoldásait!
(3x-7) / (x+5) = (x-3) / (x+2)
Megoldás:
Mivel a nevezőben nem állhat 0, x nem egyenlő -5 és x nem egyenlő -2.
(1 pont)
Mindkét oldalt szorozva a nevezők szorzatával, majd a kapott..
matematika / Derékszögű koordináta-rendszer:
Derékszögű koordináta-rendszer:
A koordináta-rendszer két egymásra merôleges,irányított,egységgel ellátott
egyenes.
Az egyeneseket koordináta-tengelyeknek,metszéspontjukat origónak mondjuk.
A víz-szintes tengely (x) az abszcissza tengely,a függôleges (y) az
ordináta tengely.
A sík bármely pontjának helyzetét a pontnak a koordinátarendszer két
tengelyétôl mért elôjeles távolságával határozzuk meg.
A pontnak a tengelyektôl mért elôjeles..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÉRETTSÉGI ÍRÁSBELI TÉTEL
1999.
1. (721.) Határozza meg a következő egyenlet valós megoldásait!
(3x-7) / (x+5) = (x-3) / (x+2)
Összesen: 8 pont
2. (3329.) Egy kör átmérőjének végpontjai (-1;-1) és (7;5). Írja fel
a kör egyenletét!
Összesen: 9 pont
3. (2988.) Mely valós x értékekre igaz a következő egyenlet?
(sin x - 2 cos..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÉRETTSÉGI ÍRÁSBELI TÉTEL
1999.
Megoldások
1. (721.) Határozza meg a következő egyenlet valós megoldásait!
(3x-7) / (x+5) = (x-3) / (x+2)
Összesen: 8 pont
2. (3329.) Egy kör átmérőjének végpontjai (-1;-1) és (7;5). Írja fel
a kör egyenletét!
Összesen: 9 pont
3. (2988.) Mely valós x értékekre igaz a..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK MEGOLDÁSAI - B
1999.
Vissza a feladatsorhoz
A MEGOLDÁSOK ÉRTÉKELÉSÉNEK ÁLTALÁNOS SZEMPONTJAI
1. Bármely helyes megoldásért a közölt pontszámmal azonos pontszámot kell
adni, de minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető. A közölt
részpontszámok tovább nem bonthatók. Az útmutatóban nem szereplő
megoldásokat a közölt megoldásoknak..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK - A
1999.
Megoldások
1. Oldja meg a valós számok halmazán a egyenletet!
(9 pont)
2.
Egy paralelogramma átlóinak hossza 30 egység és 16 egység, területe
240 területegység. Mekkorák a paralelogramma oldalai és szögei?
(11 pont)
3.
Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az y..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
FELVÉTELI MEGOLDÁSOK "A" VÁLTOZAT
1999.
Vissza a feladatsorhoz
1. Az egyenlet értelmezve van, ha \ {-38, -3,3}. A második tag (-1)-
gyel való bővítése után az egyenlet:
A közös nevező: (x-3)(x+3)(x+38)
(2 pont)
Az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel szorozzuk:
x+38+(x+3)(x+38)=48(x+3),
(2 pont)
majd a műveletek..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK "B" VÁLTOZAT
1999.
Megoldások
1. Egy kétjegyű számot osszunk el számjegyeinek szorzatával,
hányadosul ötöt, maradékul kettőt kapunk. Ha a kétjegyű számból
kivonjuk a számjegyek felcserélésével kapott számot, a különbség 45
lesz. Melyik ez a kétjegyű szám?
Összesen: l0 pont
2. Írja fel annak a..
matematika / Az egyenlet fogalma és osztályozása:
Az egyenlet fogalma és osztályozása:
Egyenletet kapunk,ha két kifejezést egyenlôségjellel összekötünk.
Az olyan egyenletet,amely a benne elôforduló betµk minden számértéke
mellett érvényes,azonosságnak nevezzük.
Pl:a+a=2*a*d.
Az ismeretlen minden olyan értéke,amelyre az egyenlôség fenn áll,az
egyenlet megoldása vagy gyöke.
Az egyenleteket az ismeretlenek száma szerínt(egy két és n ismeretlenes )és
az elôforduló ismeretlenek legmagasabb hatványa..
matematika / MATEMATIKA
MATEMATIKA
1. Mit értünk két vagy több egész szám legnagyobb közös osztóján? Hogyan
határozható meg?
Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb egész
szám, amely az adott számok mindegyikének osztója (maradék nélkül megvan
bennük).
Jele: (a,b); több szám esetén például (a,b,c)
A legnagyobb közös osztó előállítása: a számokat prímhatványok szorzatára
bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik..
matematika / Gömb:
Gömb:
Gömb felületet akkor kapunk,ha egy félkört az átmérôje körül addig
forgatunk,amíg eredeti hejzetébe vissza nem tér.
A gömb felülettel határolt testet,gömbnek nevezzük.
Az a pont,amelytôl a gömb felületnek minden pontja egyenlô távolságra van,a
gömb középpontja,a távolság pedig a gömb sugara.
V-=4*pi*r*r*r(r a köbön),A=pi*d*d(d a négyzeten).
matematika / Gyökvonás:
Gyökvonás:
Azt a mµveletet,amellyel az adott hatványhoz és hatványkitevôhöz keressük a
hatványalapot,gyökvonásnak nevezzük.
A második gyököt négyzetgyöknek,a harmadik gyököt köbgyöknek nevezzük.
Egy mennyiség értéke nem változik,ha gyököt vonunk belôle,s aztán
ugyanannyiadik hatványra emeljük:
(ncsa)az ennediken=ncsa az ennediken=a* (az elôbbi kifejezés betµvel):
n-ik gyök alatt a az enik hatványon =nik gyök alatt az enik hatványon=(a-..
matematika / kúp:
kúp:
Alapja körlap, palástja pedig egy olyan körcikk amelynek ·ve egyenl" a kŁp
alapj nak ker?let'vel.
V-=(a*t*m/3*a=pi*r*(r+a)
matematika / Henger:
Henger:
Két egybevágó síklap és egy görbelap határolja.
A görbe felület a henger palástja,amely kiterítve olyan téglalap,melynek
alapja a henger alapkörének kerülete,magassága pedig a henger magassága.
V-4 30-ötöd=p,R*r(r a négyzeten)*n,A=pi*d*d(d a négyzeten).
matematika / Algebrai törtkifejezések:
Algebrai törtkifejezések:
Az algebrai törtekre mindazok a szabályok érvényesek, amelyek a közönséges
törtekre.
Algebrai törtbôvítése és egyszerµsítése:
Abéd =a*cbéd *c=a*x amásodikonbéd*x a másodikon, =5*x*2*a hatod*y*2*a=5*x
hatod*y.
Algebrai törtek összeadása és kivonása:
x ad+ybéd =b*x ad*b+a*y ad*b=(b*x+a*y)/a*b*x ad-y béd=b*x ad*b-a*y ad*b,
=(b*x-a*y)/a*b.
Szorzás és osztás:
A béd*x=a*x béd*a béd/x=abéd*x*(a béd)*(cdéd), =a*cbéd..
matematika / Kocka:
Kocka:
Minden éle egyenlô,hat egybevágó négyzet határolja.
V-=a a harmadikon A =6*a*a(6*a a négyzeten).
Gúla:
Egy sokszög és annyi háromszög határolja,ahány oldalú a sokszög.
V-=(a*t*m)/4,A=a*t+n*(a*c)/2 (n a háromszögek száma).
matematika / Műveletek algebrai kifejezésekkel:
Műveletek algebrai kifejezésekkel:
egynemµ egytagú kifejezések:azok az egytagúak,amelyek legfeljebb
együtthatójukban különböznek.
Ezeket úgy adjuk össze hogy az együtthatókat összeadjuk,és a betµtényezôket
változatlanul leírjuk:18*x a másodikon *y*(a harmadikon-6*x a másodikon
*y*(harmadikon=12*x amásodikon *y*(a harmadikon.
Egytagú algebrai kifejezéseket úgy adunk össze,hogy azokat elôjelükkel
egymás után leírjuk, és az egynemµeket..
matematika / Téglatest
Téglatest
Három pár,p ronk'nt egybev g˘ t'glalap hat rolja.
V-=a*b*c,A=2*(a+b+a*c+b*c).
matematika / Elôjeles számok:
Elôjeles számok:
Pozitív szám abszolút értéke maga a szám,negatív szám abszolút értéke a
vele ellentett pozitív szám,a 0 abszolút értéke 0.
Egyenlô elôjelµ számokat úgy adunk össze,hogy abszolút értékük összegét
közös elôjellel vesszük:3+2=5,(-4)+(-6)=-10.
Két különbözô elôjelµ számot úgy adunk össze,hogy a nagyobb abszolútértékµ
számból kivonjuk a kisebb abszolútértékµ számot,és a különbséget a nagyobb
abszolútértékµ szám elôjelével látjuk..
matematika / Testek:
Testek:
A tér minden oldalról határolt része a test.
A valóságos tárgyak testek,ezeket síklapok és görbelapok határolják.
Az egyenes hasábot két párhuzamos hejzetµ,egybevágó (egyenlô
nagyságú)sokszög és annyi téglalap,ahány oldalú a sokszög,
határolja.
A kocka,a téglalap és a négyzetes oszlop is egyenes hasáb.
A testek felszínén a határoló lapok területének összegét értjük,jele A.
A térfogaton a test lapjaival bezárt térrész nagyságát..
matematika / Algebra:
Algebra:
Az abc betűivel bármilyen számot jelölhetünk.
A számokat helyettesítő betµket és számokat algebrai mennyiségeknek
nevezzük.
Ha az algebrai mennyiségeket, valamint ezek egész kitevôjµ hatványát és
gyökét a négy alapmµvelet véges számú alkalmazásával kapcsoljuk össze akkor
algebrai kifejezést kapunk.
Ha az algebrai mennyiségeket valamint ezek egész kitevôjµ hatványát és
gyökét csak szorzás és osztás véges számalkalmazásával kapcsoljuk..
matematika / Testek:
Testek:
A tér minden oldalról határolt része a test.
A valóságos tárgyak testek,ezeket síklapok és görbelapok határolják.
Az egyenes hasábot két párhuzamos hejzetµ,egybevágó (egyenlô
nagyságú)sokszög és annyi téglalap,ahány oldalú a sokszög,
határolja.
A kocka,a téglalap és a négyzetes oszlop is egyenes hasáb.
A testek felszínén a határoló lapok területének összegét értjük,jele A.
A térfogaton a test lapjaival bezárt térrész nagyságát..
matematika / Thalész (tálesz) tétel:
Thalész (tálesz) tétel:
A félkör ívhez tartozó minden kerületi szög derékszög,másképpen
fogalmazva,ha a kör átmérôjének két végpontját összekötve a körív bármely
más pontjával,minden esetben derékszögµ háromszöget kapunk.
A kör területe és kerülete:
T=r*r(r a négyzeten)*pi,K=2*r*pi.
matematika / Arány és aránypár:
Arány és aránypár:
Arányt kapunk,ha két számot azért hasonlítunk össze,hogy
megállapíthassuk,hányszorosa egyik a másiknak.
Arány:a hányados másik neve.
Az arány tehát osztás.
Két mennyiség egymással egyenesen arányos,ha az egyik mennyiség növekedése
a másik mennyiség ugyanannyiszoros növekedését vonja magaután.
Pl:az árú mennyisége és az ára.
Két mennyiség egymással fordítottan arányos,ha az egyik mennyiség
növekedésével a másik mennyiség..
matematika / Százalék számítás:
Százalék számítás:
A százalék századrészt jelent:1/100=0.01=1század.
Azt a számot,amely megmutatja,hogy egy mennyiség hány százalékát kell
kiszámítani százaléklábnak (t)nevezzük.
Azt a mennyiséget,amelynek a százalékát számítjuk,alapnak(a),a számítás
értékét százalékértéknek(sz)nevezzük.
Százalékérték = alap / 100*százalékláb,az-az sz=a/100*p,alap =százalékérték
/százalékláb*100,az-az a =sz/p*100,
Százalékláb =százalékérték / alap*100,az-az..
matematika / Kör
Kör
A tör a sík azon pontjainak mértani helye,amelyeknek távolsága egy adott
ponttól állandó.
Az állandó távolság a sugár,jele:r,az adott pont a középpont.
A kör két pontján átmenô egyenest szelônek,a két pont közé esô szakaszt
pedig húrnak nevezzük.
A középponton átmenô húr a kör átmérôje,jele:d.
A körvonal két pontja közé esô szakasz az ív.
A körlapnak a két sugár közé esô része a körcikk,a körlapból a szelô által
lemetszett rész a..
matematika / Tizedes törtek:
Tizedes törtek:
Azokat a törteket,amelyeknek nevezôje 10, 100, 1000
satöbbi,tizedestörteknek nevezzük.
A tizedes számrendszerben balról jobbra haladva,a számjegyek értéke
tizedannyi,mint a megelôzô számjegyé.
Az egyesektôl jobbra tized,század,ezred satöbbi,hejiérték található,s az
egyes hejiértékµ számjegytôl vesszôvel (tizedesvesszô) választjuk
el:2.25(két egész huszonöt század),0.3(nullaegész 3tized).
A tizedestört értéke..