Kiindulásképpen vegyünk egy egyszerû, határvonal nélküli, egyoldalú felületet. Egészen pontosan fogalmazva egy E(0,0) topológiai osztályú felületet. Ezt a felületet nevezzük ezentúl BINDU-nak. (A bindu szó szerinti jelentése hindi nyelven: pont, csepp.)
   A legérdekesebb tulajdonsága ennek a felületnek az, hogy ZÁRT, de még sincs térfogata, azaz nem létezik olyan fogalom, hogy a BINDU-n belül ill. a BINDU-n kívül.
 

   A felület egy ügyes kifordításával azonban kelthetjük a térfogat illúzióját. A felület kifordítását könnyebb úgy leírni, ha nem a kifordítást mutatom be, hanem egy érdekes szerkesztési módot mutatok a BINDU megszerkesztésére.:
   Kiindulásul most vegyünk két gömbfelületet (K(0,0)). A szerkesztés lényege a két gömb egy pontban való trükkös összeragasztásában rejlik: A két gömbbõl vágjunk ki egy-egy körlapot (K(1,0)) és dobjuk el ezeket. A két lyukas gömböt
(amelyek már szintén K(1,0) topológiai osztályúak) a szélek mentén illesszük egymásra, de a szélek pontjait ne így illeszük össze, hanem az egyik gömb egy szél menti pontjához a másik gömb szemközti szél menti pontját illesszük. Ez a mûvelet természetesen valamennyi szél menti pontra nem alkalmazható 3D-ben önáthatolás nélkül, de magasabb dimenziószám esetén ez már nem
jelent problémát. Miután az illesztés megtörtént, húzzuk össze az illesztési tartományt egy pontba.
   Az eredményül kapott felület ténylegesen egy BINDU (E(0,0)). Felületes szemlélõ számára ez a felület tényleg úgy tûnhet, hogy nem más, mint egy pontban egymáshoz ragasztott 2 gömbfelület. És ez majdnem igaz is, ugyanis ha eltekintünk az anomáliás illesztési ponttól, akkor valóban 2 gömbfelületrõl van szó. Az illesztési pont szinte elhanyagolható a teljes felülethez képest, de
mégis nagyon anomáliás tulajdonságokkal jellemezhetõ a felület többi részéhez képest.:

- A 2 gömbfelület 3D-ben leírható - az illesztési pont nem (és a teljes felület sem).

- A gömböknek van térfogata (létezik benn ill. kinn) - az illesztési pont ezt az illúziót megsemmisíti: Az illesztési ponton keresztül kijuthatunk a gömbökbõl (nem átvezet az egyik gömbbõl a másikba, hanem mindkettõbõl kivezet!).

   A gömbök külsõ felülete is érdekes:

- A külsõ gömbfelületek is ugyanolyan felületet alkotnak, mint a belsõk - tehát a külsõ gömbfelületek is belsõ gömbfelületet alkotnak egy külsõ felületen elhelyezkedõ szemlélõ számára.

- A külsõ ill. belsõ gömbfelületek egymáshoz képest viszont ellentéteseknek látszanak. A belsõ gömbfelületekrõl szemlélve a külsõ gömbfelületek ténylegesen külsõ gömbfelületet alkotnak és viszont.

   Végül egy meglepõ kijelentés: A BINDU teljes felülete topológiailag ekvivalens a PONT-tal.

   Egy konstruktív bizonyítás:

   Vegyünk egy GÖMB-öt (K(0,0)). A gömb ugye csak abban különbözik a BINDU-tól (E(0,0)), hogy a gömb kétoldalú, míg a BINDU csak egy oldalú. Ha a gömböt geometriai értelemben vett gömbbe formázzuk, akkor annak van egy R sugara. Ezt az R sugarat folyamatosan csökkentsük (tartsunk vele a 0-hoz). Ezzel elérjük azt, hogy a gömb térfogata is, és vele együtt a belsõ felülete is a
0-hoz közelít. Határértékben a gömb belsõ felülete zérus. Ez viszont azt jelenti, hogy megszûnt a belsõ felület, azaz egyoldalú felületté vált a gömb. Az egyoldalú gömb viszont E(0,0) topológiai osztályú, azaz a BINDU-t kaptuk meg. Viszont az, hogy a belsõ felület a zérushoz tart, maga után vonja azt, hogy a külsõ felület is a zérushoz tart, azaz PONT-tá zsugorodik. Tehát az eredményül kapott felület topológiai osztálya a PONT.

   Egy-két érdekesebb szó/kifejezés természetes magyarázata:

> FELÜLET-es szemlélõ : Olyan szemlélõ, aki az egyik gömb FELÜLET-en van. Számára a világ GÖMB-nek látszik...
> SZÉL : Ugye ez egy több értelmû szó... A két hasonló alakú szó szoros értelmi kapcsolatban áll egymással:
1. A szél, mint ige a közeg áramlását jelenti.
2. A szél, mint fõnév azt a határfelületet jelenti, ahol 2 különbözõ áramlás érintkezik. A közeg áramlása természetesen 0 is lehet.
   Ezzel definiáltuk a FELÜLETET is, mint a SZÉLEK határfelületét.

Készült: 1998.11.26.

Vissza a tartalomhoz

Következõ írás