A teljes halmaz úgy definiálható, hogy az egy olyan halmaz, amelynek minden létező és elképzelhető elem az eleme. Tehát az olyan típusú kérdésekre, amelyek azt kérdezik, hogy egy 'x' elem eleme-e a teljes halmaznak, a válasz minden esetben az, hogy igen.
   Erre egy automatát is lehet konstruálni, amelynek egy bemenete és egy kimenete van. A bemeneten jönnek a kérdések, a kimeneten meg a válaszok. Amennyiben az igen válasznak az '1'-es jelet feleltetjük meg az automata kimenetén, akkor az automata a konstans '1'-et állítja elő (a bemenettől függetlenül).
   Ha az "eleme-e" részt kivesszük (vagy lecseréljük "igaz-e"-re) a kérdésekből, akkor az összes eldöntendő típusú kérdés halmazát kapjuk, amelyeket ha nem kérdés formájában tesszük fel, hanem állításként fogalmazzuk meg, akkor a matematikai logika állításait - kifejezéseit kapjuk meg, persze a megfelelő formalizálás után. Erre az állítás halmazra igaz lesz az, hogy benne minden állítás és negáltja (tagadása) is megtalálható - mivel minden állítást tartalmaz.
   A teljes halmaz, mint matematikai modell ellentmondásos tehát. Sőt az is igaz, hogy ha egy modellben mindössze egy ellentmondás felfedezhető, akkor benne minden állítás és annak tagadása is igazzá válik, azaz a modell állítás halmaza ekvivalens lesz a teljes halmazzal.
   Ezek után egy teljes halmazt konstruálni igen egyszerű: Definiálni kell egy modellt, amelynek 2 axiómája van; egy tetszőleges modellbeli állítás és annak negáltja. Ez garantálja azt, hogy a tetszőleges állítás bizonyítható (igaz) lesz a modellben.
   A fentiek alapján egyenlőre úgy tűnik, hogy a teljes halmazzal nincs "semmi különösebb" probléma, attól eltekintve, hogy ellentmondásos. Pl.: Egy olyan kérdésre, hogy létezik-e egyáltalán ilyen halmaz bátran mondhatjuk, hogy igen, hiszen az előző bekezdésben pont annak a receptjét adtuk meg, hogy hogyan lehet egy ilyen halmazt definiálni.
   A teljes halmaz léte amúgy is nyilvánvaló, mert hát a matematikusok legnagyobb mumusa az ellentmondásosság. Ettől félnek és rettegnek állandóan, és ezt próbálják minden áron elkerülni, mióta a matematika történelmében kialakultak az axiomatikus rendszerek. Már csak azért is nagy probléma ez, mivel a dolog igen csak cikis természetű: Ha egy rendszer kellően erős (van benne végtelen sok elem), akkor az Isten (sem) tudja megmondani, hogy az a rendszer ellentmondásos-e vagy sem. Ugyanis az olyan típusú állítás, ami az ilyen rendszerek ellentmondásosságát bizonyítaná vagy cáfolná, az kívül esik a vizsgált rendszeren. Egy ilyen rendszer pl.: a valós számok modellje, amelyet nap, mint nap pár milliárd ember (a gépeket nem is számítva) használ holt nyugodtan. Pedig nem árt azt tudni, hogy ennek ellentmondásossága sincs sem bizonyítva, sem cáfolva. És a rendszer ellegéből fakadóan benne az ilyen típusú állítás se nem bizonyítható, se nem cáfolható...
   Van egy olyan halmazelméleti tétel, amely a teljes halmazt veszi górcső alá, és annak létezését próbálja igazolni, legalábbis ebből az alapfeltevésből indul ki, majd az öntartalmazó halmazok számosságbeli ellentmondása alapján arra a következtetésre jut (indirekt bizonyítási mód), hogy a teljes halmaz nem létezik.
   Arról persze bölcsen hallgat mind a tétel, mind pedig a bizonyítás, hogy egy teljes halmazt még egy gyerek is játszva tud konstruálni, azaz létezik ilyen halmaz. Ez két dolgot jelent:

1. Ez az, amire minden matematikus kapásból gondolna: Találtunk egy ellentmondást a halmazelméletben, azaz a halmazelmélet ellentmondásos, és mint ilyen a továbbiakban hasznavehetetlen; el kell dobni és csinálni kell egy jobbat.

2. Ez az, amire senki sem gondolna: Tegyük fel a teljes halmaznak ezt a két állítást:
a. Igaz-e, hogy létezik a teljes halmaz.
b. Igaz-e, hogy nem létezik a teljes halmaz.
   A teljes halmaz azt fogja válaszolni mindkét állításra, hogy igaz, mivel benne minden állítás igaz.

   A 2. pont következtetései egy kicsit matematikusabb megfogalmazásban:
a. Ha a teljes halmaz létezik, akkor mivel az tartalmazza önmaga létezésének tagadását, ezért a teljes halmaz nem létezik. Világos ugye?
b. Ha a teljes halmaz nem létezik, akkor viszont létezik az üres halmaz, mint a teljes halmaz komplementere; benne semmilyen állítás nem igaz. Így például az az állítás sem igaz, hogy a teljes halmaz nem létezik, tehát a teljes halmaz létezik. Egyértelmű nem?

   Tehát van egy olyan halmazunk, ami "létezik is meg nem is". Ez azt jelenti, hogy nincs abszolút igazság. Ez olyan, mint az Isten létezése; van akinek létezik és van akinek nem. Senki sem téved.
   A dolog kulcsa abban rejlik, erre a misztikusnak tűnő teljes halmazra, illetve üres halmazra vonatkozóan, hogy azok egymás negáltjai (komplementerei) úgy, hogy közben azonosak is egyszerre.

   Egy kis példával demonstrálom az elmondottakat:
- Legyen 'x' egy állítás és '|x' az 'x' tagadása.
- A teljes halmazban mind 'x', mind pedig '|x' igaz.
- Az üres halmazban sem 'x', sem pedig '|x' nem igaz.
- Mivel 'x' tagadása '|x' es '|x' tagadása 'x' ezért, mind 'x', mind pedig '|x' igaz az üres halmazban.

   Nézzük tehát, hogy mit csinál a matematika az ellentmondásosság feloldására: Kardot ránt az üres halmaz (az Isten nem létezik) mellett.

   Mindezt így teszi:
1. Az üres halmazt axiomatikusan igaznak fogadja el.
2. A teljes halmaz létét axiomatikusan ellehetetleníti (pl.: kizárja az öntartalmazó halmazokat stb.)
3. A teljes halmazt modell specifikusan definiálja. Ezért:
a. A teljes halmaz továbbra is az üres halmaz negáltja.
b. De már a teljes halmaz nem azonos az üres halmazzal.

   A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a lényeget dobtuk ki (hallgattuk el, titkoltuk el, stb) ezzel.
   Nézzük ezek után, hogy hogyan lehetne tisztességen kezelni egy ellentmondásos halmazt. Mert hát mi sem tudunk egy olyan rendszert kezelni, ahol egyszerre egy állítás igaz is, meg nem is. A megoldás az előző mondat egy szavában rejlik: egyszerre nem lehet egy állítás igaz is, meg hamis is. De egymás után miért ne lehetne egy állítás igaz is meg hamis is? Húzzuk szét a rendszert az időben, mindjárt nem lesznek problémáink: Egy falevél egyszerre egy meghatározott színnel bír, de egy év alatt a színskála valamennyi színét
felveszi. Tehát a falevél minden színnel bír, de nem egyszerre!
   Az axiomatikus rendszer helyett az alábbi időalapú rendszert kéne felvenni: A kiindulási alaprendszer a teljes halmaz, illetve az üres halmaz (kinek mi tetszik), amely a lét és a nem lét között vibrál. Ezzel csak igaz dolgot állítunk:

1. A teljes halmaz azonos az üres halmazzal.
2. A teljes/üres halmaz létezik.
3. A teljes/üres halmaz nem létezik.
4. A 2.-ből következik a 3. és a 3.-ból következik a 2.

Készült: 2000.02.03.

Vissza a tartalomhoz

Következő írás