AZ N DIMENZIÓS EGYENES DEFINÍCIÓJA

A geometriai egyenes egy olyan mindkét végén a végtelenségig nyúló folytonos pontsorozat, ami a beágyazási környezetében lévő szemlélő számára nem minősül görbének. Definiáljuk ennek a mondatnak a jelentését az egyes fogalmak tisztázásával.
A geometriai egyenes azt jelenti, hogy nem foglalkozunk az egyenes topológiai jellemzőivel, csak a formájával. Az egyenes végei azok a pontok, ahol a szemlélő számára az egyenes létezésének és észlelésének a határa van. Az egyenesnek nincsenek valódi végei, mivel végtelen. A nyúlás éppen ezért nem más, mint a megfigyelő észlelési folyamatának mozgása az egyenes mentén (a realizáció), ami egyenértékű egy véges szakasz két irányba történő nyúlásával, meghosszabbodásával. A folytonos pontsorozat azt jelenti, hogy nem foglalkozunk az egyenes belső szerkezetével, részeinek egymástól való távolságával, vagyis az egyenes bármely két tetszőleges pontja között végtelen számú további pontot tételezünk fel. A beágyazási környezet az a térbeli és időbeli kiterjedési tartomány, amelyen belül a szemlélő pontja mozogni tud az egyenes észlelése során. Ennek dimenziószáma, azaz kiterjedése egyenlő vagy nagyobb lehet az egyenes kiterjedésénél. A görbeség csak az egyenes dimenziószámánál nagyobb dimenziószámú beágyazási környezetben értelmezhető tulajdonság, amit később részletesen definiálunk.
A fentiekből következik, hogy az 1D-s beágyazási környezetben minden egyenes csak egyenes lehet, mert teljesen kitölti azt. Ezért nem értelmezhető a görbesége. A 2D-s síkot nem tölti ki az egyenes, csupán két részre határolja, vagyis része annak, nem azonos vele. Ebből következik, hogy benne és minden nagyobb dimenziószámú környezetben értelmezhető az egyenes görbesége.
Nézzük meg az E egyenest belülről, azaz helyezzük a szemlélőpontunkat bele, pontosabban rá. Ha az egyenes bármely pontjából nézem a többi pontját, akkor azok két látszólagos pontba esnek, melyek egymással ellentétes irányban, a két oldalon helyezkednek el. Az E bármely pontja tehát közvetlenül, azaz takarás nélkül csak a két közvetlenül szomszédos pontot látja, bármerre is néz (a szemlélőpont beágyazási környezetében) és ezek 180 fokos szögtávolságra vannak egymástól. Vagyis E-nek nincs olyan pontja, ahonnan nézve egy, három vagy több pontot lehetne látni az egyenesből. A látás a beágyazási környezetben kijelölhető irányok felé történő realizáció, ami egyenértékű a látó és látott pontok egyenessel való összekötésével. Ha nem korlátozzuk le a beágyazási környezet dimenziószámát, akkor a látás irányait n dimenziósnak kell tekintenünk.
Az egyenesen bármely pontból bármelyik irányba elindulhatunk és soha nem jutunk vissza a kiindulási ponthoz. Ha az egyenes bejárása során egy pontot kétszer is érintünk, tehát kétszer is áthaladunk ugyanazon a ponton, akkor az vagy kör vagy egy hurok van az egyenesen. Mindkét esetben az egyenes valójában görbe.
Az E egyenest meghatározó elsődleges feltételek tehát a következők.:
1. Az egyenes bejárása során minden pontját csak egyszer érintjük.
2. Az egyenes minden pontjának csak és kizárólag két szomszédja van.
Ha ezen feltételek teljesülnek, akkor a vizsgált pontsorozat nem lehet kör, véges szakasz vagy félegyenes és nem ágazhat el a szál. Görbe ettől még lehet egy külső szemlélőpont számára, tehát szükség van egy kiegészítő feltételre, ami ezt zárja ki.:
3. Nincs olyan pont az E egyenesen kívüli, n dimenziós beágyazási környezetben, amely origója egy olyan tetszőleges sugarú körnek, amely két vagy több pontban érinti az egyenest. Ez egyenértékű azzal, hogy az E egyenesen kívüli pontból csak egy olyan F egyenes húzható, amely merőlegesen metszi E-t.
Ami a 2D-ben egyenes, az 3D-ben még lehet görbe, ha a sík görbült. Ami a 3D-ben egyenes, az ugyanígy a 4D-ben még lehet görbe, ha a tér görbült. Egy közismert példa: a Bolyai-Lobacsevszkij féle gömbi geometria egy olyan pozitív görbületű sík, amiben minden egyenes csak kör lehet, mert a gömb origójából nézve minden pontja egyforma távolságra van. A tér görbületével más publikációkban részletesen foglalkozunk.
A fenti meghatározásokkal sikerült a beágyazási környezet (téridő) szerkezetétől, jellemzőitől független módon definiálni a geometriai egyenest. Így az egyeneseknek két fő csoportja különböztethető meg attól függően, hogy csak az első két feltétel igaz rájuk vagy a harmadik is.:
1. Abszolút egyenes: ami n dimenzióban egyenes.
2. Relatív egyenes: ami csak n-m dimenzióban egyenes, feljebb nem. Az m>0.
Abszolút egyenesből így csak egyféle van, míg a relatív egyenesek végtelenféle görbülettel rendelkezhetnek a szemlélő beágyazási környezeténél magasabb dimenziószámú közegekben.
Ez a levezetés kiterjeszthető a magasabb dimenziószámú kiterjedések görbültségének vizsgálatára is. Például egy 2D-s S sík akkor nem görbült a 3D-ben, ha nincs olyan szemlélőpont (a 3D-ben), amely origója egy olyan tetszőleges sugarú gömbnek, amely két vagy több pontban érinti S-t.
Ha az egyenest létfilozófiai megközelítésben vizsgáljuk, akkor arra jutunk, hogy a valóságban (a teremtésben, létezésben) egyenes és félegyenes nem létezik. Mivel ezek végtelen hosszúak, a létezés pedig minden pillanatában végesen nagy, nem férnek el benne, mint beágyazási környezetben. Csak véges szakaszok, görbék és körök léteznek a valóságban. A témával részletesen foglalkozunk Az n dimenziós kör definíciója című írásban és más publikációkban.
A két irányba nyúló időszál azon vége, ahol a jelenpont található a csúcspont. Ahonnét jön, a szál másik vége a mélypont. Ha a jelenpont egy okforrás, akkor a mélypont helyzete nem meghatározható, mert a végtelen múltba nyúlik vissza. A csúcspont ellenben mindig meghatározható, a létezés bármely időpillanatában. Az egyenes további tulajdonságaival A három pont tétel című írásban foglalkozunk részletesen.

Készült: 2006.05.31. - 08.29.

Következő írás

Vissza a tartalomhoz