Az arab egyenletmegoldás a középkorban

Omar Hajjám a XI-XII. században élt, híres költő csillagász és matematikus volt. Rájött, hogy két kúpszelet metszéspontjaival meg lehet határozni a harmadfokú egyenletek megoldásait. Tévesen azt állította, hogy másodnál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg algebrai úton. Később bebizonyosodott, hogy ez csak az általános ötöd- és magasabb fokú egyenletekre igaz. Tudta, hogy több gyöke van a harmadfokú egyenletnek, de nem tudta pontosan, hogy mennyi. Hvárizmihez hasonlóan ő is megkülönböztette az egyenleteket. Harmadfokú egyenletekből 19 van, melyekből ötnél lehet osztani x-el vagy -tel, így alacsonyabb fokszámú egyenletet kapunk. A többi 14 egyenlet megoldása kúpszeletekre épül: parabola, hiperbola és ellipszis (speciális esetben kör) metszéspontjaként kaphatjuk meg az eredményt.

Egyik feladatának levezetése:

Az típusú egyenlet megoldásait két kúpszelet metszéspontjaként kapta meg. A két görbe az egyenletű parabola, és az egyenletű kör. Mivel geometriai megoldásról van szó, először meg kell adni az egység hosszúságú szakaszt, majd a szakasz a- illetve b- szeresét.

A görbék megrajzolásához meg kell szerkeszteni a , és a hosszóságú szakaszt.

A hosszúságú szakasz megszerkesztését a párhuzamos szelők tételével tesszük,

Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárát párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező szakaszok arányával.

A hosszúságú szakaszt pedig a magasságtétel segítségével szerkesztjük.

Magasságtétel: Bármely derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót olyan szakaszokra osztja, amelyek mértani közepe éppen az átfogóhoz tartozó magasság. (Mértani közép: két pozitív szám szorzatának négyzetgyöke.)

Ezek után a kör és a parabola megszerkesztése következik:

Felveszünk egy átmérőjű félkört .

Szerkesszünk merőlegest az O pontba, majd párhuzamost az OA egyenessel távolságra. A most szerkesztett két egyenes metszéspontja (F) lesz a parabola fókuszpontja. A kör és parabola metszéspontja legyen P.

A P pontból állítsunk merőlegest az OA egyenesre. A metszéspont legyen T.

A keresett érték az OT szakasz hossza. Az eredmény az egységszakasz OT -szerese. Ez csak az egyik megoldás a három közül, de Hajjám kijelenti, hogy ez az egyetlen pozitív. 

Az arab matematikusok foglalkoztak magasabb fokú egyenletekkel is. Ezek főleg optika és geometriai feladatoknál jelentek meg. Egyikük egy optikai feladatban egy kör alakú tükrön visszaverődő fénysugár helyét akarta meghatározni. A feladatban egy negyedfokú egyenlethez jutott, amelyet egy kör és egy hiperbola segítségével oldott meg.