polyeder
3. Euler-féle poliéder tétel
Egy konvex poliéder lapjai (l) és csúcsai (c)számának összege az élek (e) számánálkettővel több, azaz
l+c = e+2
Bizonyítás: (Hajós György-féle)
Az éleket két csoportba osztjuk:
- néhány élet meghagyunk
- néhány élet elhagyunk
Legyen a poliéder egybolygó, az élek gátak (számuk e), alapok pedig medencék (számuk l) ezena bolygón. Az egyik medencében víz van. Minden csúcsba állítunk egy embert(összesen c a számuk), az egyikcsúcsnál a parancsnok áll (így c-1 ember civil). A bolygót el akarjuk árasztani vízzel úgy,hogy a lehető legkevesebb gátat robbantsuk fel. Azt vizsgáljuk meg, hogy ehhezhány élt kell megszüntetni.
Összesen l-1 lapon nincs víz, ésegy gát felrobbantásával két medence telik meg vízzel. Így l-1 él megszüntetésével azegész bolygót el tudjuk árasztani. Most nézzük meg, mennyi gát maradt ép.
Azemberek elindulnak a parancsnok felé egy-egy gáton úgy, hogy egy gátra csak egyőr léphet. Ekkor minden élre pontosan egy őr lép, különben kapnánk egymedencét, amelyben nincs egy csepp víz sem. Ez viszont azt jelenti, hogy c-1 ép gát van.
Aztkaptuk, hogy
- a megmaradt élek (gátak) száma: c-1
- az eltüntetett élek (gátak) száma: l-1.
Összesen eél van, így
l-1+c-1 = e
l+c = e+2
És ezt akartuk megmutatni...