1. Definíciók
Egy szimbólum lehet:
1. Egy tetszőleges olyan jel, amely nem szimbólum
határoló
zárójel. (A jel valamely véges halmaz egy eleme.
Továbbá
ezentúl egyszerűen a jel alatt csakis olyan jelet
értünk,
amely nem szimbólum határoló
zárójel.)
2. {név}, ahol a név tetszőleges, de véges
hosszú jelsorozat. A { , }-k neve: szimbólum
határoló
zárójelek.
3. Szimbólumok konkatenációja (egymáshoz
fűzése).
Az üres szimbólum jele: {}
Két szimbólum kapcsolata vagy röviden csak
kapcsolat:
szimbólum1 : szimbólum2
Két szimbólum kapcsolatának
oldása/tiltása
vagy csak röviden oldás/tiltás:
szimbólum1 ~ szimbólum2
Egy szimbólum terminális (végleges), ha
önmagával
kapcsolatban áll:
szimbólum : szimbólum
A kapcsolatnak oldás, oldásnak kapcsolat az ellentettje.
A speciális jelek: $ , { , } , : , ~
Speciális jelek elhelyezése a szimbólumokban
normális
jelként: $x
Ahol x lehet : $ , { , } , : , ~
A precedencia (a jelölések értelmezési
sorrendje):
1. $
2. { , }
3. konkatenáció
4. : , ~
Mivel a szimbólum csak egy adott formai szabálynak
eleget
tevő jelsorozat, ezért ha egy szimbólum belsejében
a szimbólum formai szabályának eleget tevő
másik jelsorozatot találunk, akkor az is
szimbólumnak
tekintendő. Ezt az esetet egymásba ágyazott
szimbólumoknak
nevezzük, amikor is mindig van egy beágyazó
szimbólum
és van legalább egy beágyazott szimbólum.
Igaz
az is, hogy minden egynél több jelet tartalmazó
szimbólum
valójában szimbólumok
konkatenációjából
áll. Az előző megállapítás nem
csak szimbólumokra, hanem kapcsolatokra és azok
oldására
is igaz, azaz létezhetnek egymásba ágyazott
kapcsolatok/oldások
is.
Mivel a szimbólumok konkatenációja is
szimbólum,
ezért a nem egy jelet tartalmazó szimbólumok
részsorozatai
szintén mind szimbólumok is egyben, amelyek neve:
részszimbólum.
Pl.: az {alma} szimbólum részszimbólumai : {al},
{ma},
{lma}, {a} stb.
Példák a szimbólumokra:
- {alma}, egy olyan szimbólum, amiben például
a következő szimbólumok találhatóak: a
, l , m , a , {al} , {lm} , {ma} , {alm}, {lma}, {a{lma}}, {{al}{ma}}
- {{Alma}{Körte}{Szilva}}, egy olyan szimbólum, ami
további
három szimbólumot tartalmaz. Persze ez a három
szimbólum
további szimbólumokat tartalmaz.
{{Alma}:{Gyümölcs}},
egy olyan szimbólum, ami egy kapcsolatot tartalmaz.
{{Oldás}:{{Zöldség}~{Gyümölcs}}},
egy olyan szimbólum, ami egy kapcsolatot tartalmaz és
amely
kapcsolat egyik oldala egy kapcsolat oldását vagy
tiltását
(nézőpont kérdése; ha már volt
Zöldség-Gyümölcs
kapcsolat, akkor oldásnak, egyébként
tiltásnak
fogható fel) tartalmazza.
Megjegyzés: a matematika egy egyszerűbb leírásában csak a szimbólumok vannak definiálva szintaktikai szinten és minden más, gondolunk itt elsősorban a kapcsolatokra már szemantikai szinten vannak a modellhez kapcsolva. Az ebből a megközelítésből születő matematikai modell izomorf (az elemeik közötti azonos viszonyok rendszere alapján egymásra kölcsönösen leképezhetők) a fenti modellel. Ebben a modellben a kapcsolatot szemantikai szinten a következőképpen lehetne definiálni.: Legyen kapcsolat minden olyan szimbólum, amely három olyan szimbólumra vágható, amelyben a középső szimbólum a kettőspont. Az oldást úgy lehetne definiálni, hogy legyen egy oldás szimbólum, amelyhez ha egy kapcsolat kapcsolódik, akkor az a kapcsolat oldásának tekintendő.
2. A modell leírása
2.1. Elemek és szabályok
A matematikai struktúra elemei a szimbólumok. A
kiindulási
szimbólum az üres szimbólum. Ezután minden
olyan
új szimbólumot, amelyet fel akarunk venni a
struktúrába
az előzőleg felvett szimbólumhoz jobb oldalról
konkatenáljuk: szimbólum(n) szimbólum(n+1). Mivel
a konkatenáció eredménye is szimbólum,
ezért
a struktúra valamennyi szimbóluma egy nagy
szimbólumot
alkot.
A matematikai struktúra lehetséges szabályainak
azokat a szimbólumokat nevezzük, amelyek megfelelnek a
kapcsolat
formai szabályainak. Egy lehetséges szabály akkor
szabály, ha tőle jobbra nincs a struktúrában
az általa reprezentált kapcsolatnak ellentettje. A
szabály
valójában egy reláció, aminek a
jelentése:
a kapcsolatban álló két szimbólum
helyettesíthető/azonos/megegyezik
egymással. Azaz a formális logika eszközeivel
leírva:
Ahol DR a szimbólumok halmaza. (Ez tranzitív
reláció
is egyben.)
A definícióknak megfelelően minden
szabály/kapcsolat/oldás
egy szimbólum is egyben.
Az így definiált matematikai modellt nevezzük
Dinamikus
Matematikának (DM). A DM elmeinek halmazát nevezzük
Dinamikus Rendszernek (DR). A DR-be bármikor felvehető egy
tetszőleges új szimbólum. A DR
definíciójából
következik, hogy annak mérete (a benne levő jelek
száma)
mindig véges, de nem korlátos. Így a DR-ben levő
szimbólumok és szabályok száma is
véges,
de nem korlátos. Megkötésünk, hogy a DR-ből
sem szimbólumokat, sem jeleket törölni nem lehet
(mivel
az különféle bonyodalmakat okozhatna a rendszerben).
A szabályok megjelenési formáiból
néhány
példa:
{{Alma}:{Gyümölcs}}
{Alma:{Gyümölcs}}
{{Alma}{Körte}:{Gyümölcsök}}
{{{Alma}{Körte}}:{Gyümölcsök}}
{{Szabály}:{{Alma}:{Gyümölcs}}}
{{Gyümölcsök}:{Alma}Körte}
{{Gyümölcsök}:{Alma}{Körte}}
{{{Alma}:{Gyümölcs}}}
{({Gyümölcs}:{Alma})Valami}
{({Alma}:{Gyümölcs}){Valami}}
A rendszer dinamizmusa abban áll, hogy a rendszert alkotó szimbólumok száma tetszőleges mértékben növekedhet új szimbólumok felvételével. Ennek következtében a szabályokat alkotó részhalmaz is tetszőlegesen változhat.
2.2. A helyettesítési algoritmus
A későbbiek folyamán használni fogjuk a helyettesítési algoritmust, amelyet most itt közlünk. Az algoritmus bemenete egy szimbólum és a kimenete is egy szimbólum.
A helyettesítési algoritmus leírása a
következő.:
Ha léteznek szabályok a bemeneti szimbólumban
található
szimbólum(ok)ra, akkor minden szóbajöhető
szabállyal
végezzük el a helyettesítést a bemeneti
szimbólumra
külön-külön. Az így létrejött
szimbólumokat
nevezzük részeredmény szimbólumoknak.
Ezután
az egyes részeredmény szimbólumokat
konkatenáljuk
úgy, hogy minden részeredmény szimbólumra
igaz
legyen az, hogy tőle jobbra csak olyan részeredmény
szimbólum van, ami olyan szabály
alkalmazásával
született, amely szabály a szóban forgó
részeredmény
szimbólum létrehozásához használt
szabályhoz
képest a DR-ben balra helyezkedik el. Az így kapott
szimbólum
legyen a kimeneti szimbólum. Ha a feltétel rész
nem
teljesül, a kimeneti szimbólum legyen egy speciális
sikertelenségi szimbólum.
A helyettesítési algoritmus a szabályok
alapján
működik, és egy megadott bemeneti szimbólumra
azoknak a szimbólumoknak a konkatenációját
adja válaszul, amelyek egy lépésben a bemeneti
szimbólumból
legenerálhatóak. Ha nem sikerül egyetlen
szimbólumot
sem legenerálni (az eredeti szimbólumot sem) akkor egy
speciális
sikertelenségi szimbólumot ad válaszul.
2.3. Egy egyszerű szemléltető példa
Legyenek a következő szimbólumaink: {A:B} {A:C}
Ezek a szimbólumok egyben szabályok is. Vegyük fel
először is a struktúrába az {A} szimbólumot,
majd induljunk ki az A szimbólumból és
nézzük
meg, hogy milyen szimbólumok születhetnek belőle a
helyettesítési
algoritmus használatával. Az első szabály,
ha balról-jobbra akarjuk az új szimbólumokat
generálni,
akkor az az {A:C} szabály lesz. Ennek
eredményeképpen
A-ból C lesz. A következő szimbólum a B lesz,
ami az első szabály alkalmazásával születik.
Az első lépésben született szimbólum:
CB.
A módszerünk legyen az, hogy a i. lépésben
született szimbólum legyen az i+1. lépés
kiindulási
szimbóluma, és az egyes lépések
szimbólumait
szimbólum határoló zárójelekkel
vegyük
fel a struktúrába. Ekkor az egyes lépések
szimbólumai
a következőek:
1. {CB}
2. {AA}
3. {CBCB}
4. {AAAA}
5. {CBCBCBCB}
6. {AAAAAAAA}
7. {CBCBCBCBCBCBCBCB}
A struktúra maga pedig így néz ki:
{A:B}{A:C}{A}{CB}{AA}{CBCB}{AAAA}{CBCBCBCB}{AAAAAAAA}{CBCBCBCBCBCBCBCB}
Természetesen a sorozat a végtelenségig folytatható lenne. Az eredmény a következőképp jellemezhető: A kiindulási A szimbólumból még B és C szimbólum levezethető, és az egyes ilyen szimbólumok száma exponenciálisan növekszik, miközben egyéb más szimbólumok is megjelennek (Pl.:AA,AAA,AAAA,CBCB,CBCBCB,{A}{CB},{CBCB}{AAAA}).