Matematika vizsgakövetelmények

A matematika érettségi vizsga követelményrendszere

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

E témakört (különösen a gondolkodási módszereket, a halmazokat és a matematikai logikát) elsősorban nem önállóan számon kérhető ismeretanyagként kell elképzelni, hanem olyan szemléletformáló, a matematikaoktatás egészét átszövő módszerek, illetve eszközök összességeként, amely szinte teljes egészében megjelenik minden további témakörben is.

TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
TÉMÁK	Középszint	Emelt szint
1.1 Halmazok	Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz.

1.1.1 Halmazműveletek	Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat.

1.1.2 Számosság, részhalmazok	Véges halmazok elemeinek száma.	Ismerjen példát véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen halmazra.

1.2 Matematikai logika	Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a „minden”, „van olyan” kvantorokat.	Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit.

1.2.1 Fogalmak, tételek és bizonyítások a matematikában	Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmát.	Ismerje az alábbi bizonyítási típusokat és tudjon példát mondani alkalmazásukra: direkt és indirekt bizonyítás, skatulyaelv. Tudja megfogalmazni konkrét esetekben tételek megfordítását.

1.3 Kombinatorika	Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat.	Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélkül) kiszámítására vonatkozó képleteket. Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt.

1.4 Gráfok	Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével.	Definiálja a következő fogalmakat: pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa. Ismerje az egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma, valamint a fa pontjai és élei száma közötti összefüggést.

2. Számelmélet, algebra

Az algebra tanításának egyik fő célja annak felfedeztetése és megértetése, hogy egymástól távol állónak tűnő problémák ugyanazon matematikai, algebrai struktúrával rendelkeznek, ezért megoldásuk során hasonló eljárásokat, gondolatmeneteket alkalmazhatunk, s leírásuk formálisan azonos módon történik. (Például különböző témakörökből vett másodfokú egyenletre vezető feladatok.)

Fontos a számolás során megismert műveleti szabályok absztrahálása, a jártasság megszerzése a betűkifejezésekkel végzett műveletekben. Meg kell mutatni a számfogalom bővítésének szükségességét és folyamatát. El kell juttatni a tanulókat a permanencia-elv fontosságának felismeréséhez.

TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
TÉMÁK	Középszint	Emelt szint
2.1 Alapműveletek	Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás).

2.2 A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek	Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat.	Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai elemeit.
	Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban.	Tudja pontosan megfogalmazni a számelmélet alaptételét.

2.2.1 Oszthatóság	Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani.	Oszthatósági feladatok.

2.2.2 Számrendszerek	Tudjon más számrendszerek létezéséről.
	Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód.	Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből n alapú számrendszerbe és viszont.

2.3 Racionális és irracionális számok	Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Adott n (nÎN) esetén tudja eldönteni, hogy irracionális szám-e.	Bizonyítsa, hogy irracionális szám.

2.4 Valós számok	Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R) valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal.	Tudja, hogy mit értünk adott műveletekre zárt számhalmazokon.

2.5 Hatvány, gyök, logaritmus	A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén.	Permanencia elv. Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen.

	Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Definiálja és használja az fogalmát.	Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén.

	Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait.	Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait.

	Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra.	Bizonyítsa a logaritmus azonosságait.

2.6 Betűkifejezések	Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját.

2.6.1 Nevezetes azonosságok	Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b)²; (a – b)²; (a + b)³; (a – b)³; a² – b²; a³ – b³. Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása).	Tudja alkalmazni feladatokban az aⁿ – bⁿ, illetve az a^2m+1 + b^2m+1 kifejezés szorzattá alakítását.

2.7 Arányosság	Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Tudjon arányossági feladatokat megoldani.

2.7.1 Százalékszámítás	Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása.

2.8 Egyenletek, egyenletrend-szerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek	Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb.

2.8.1 Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek
Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek	Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket megoldani. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában.	Tudjon paraméteres elsőfokú egyenleteket megoldani. Két- és háromismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerek megoldása. Egyszerű kétismeretlenes lineáris paraméteres egyenletrendszer megoldása.

Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek	Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát.
	Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása.	Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Igazolja és alkalmazza a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Másodfokú paraméteres feladatok megoldása.

Magasabb fokú egyenletek	Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása.	Tudjon másodfokúra visszavezethető egyenletrendszereket megoldani. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása.

Négyzetgyökös egyenletek	Tudjon típusú egyenleteket megoldani.	Tudjon két négyzetre emeléssel megoldható egyenleteket megoldani.

2.8.2 Nem algebrai egyenletek
Abszolútértékes egyenletek	Tudjon típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint típusú egyenleteket megoldani.	Abszolútértékes egyenletek algebrai megoldása.

Exponenciális és logaritmikus egyenletek	Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.

Trigonometrikus egyenletek	Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.

2.8.3 Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek	Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása.	Tudjon megoldani összetett feladatokat. Tudjon egyszerű négyzetgyökös, abszolútértékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus) egyenlőtlenségeket megoldani.

2.9 Középértékek, egyenlőtlenségek	Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk.	Ismerje n szám számított középértékeit (aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus), valamint a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket. Bizonyítsa, hogy Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján.

3. Függvények, az analízis elemei

A témakör (hasonlóan a geometria, illetve a valószínűségszámítás, statisztika fejezetekhez) különösen alkalmas annak szemléltetésére, hogy egy probléma matematikai megoldása három lépésben történik: a matematikai modell megalkotása, a matematikai feladat megoldása a modellen belül, és az eredmény értelmezése. Fontos terület a függvényábrázolás alkalmazása egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
TÉMÁK	Középszint	Emelt szint
3.1 A függvény	A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet). Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f(x) = c alapján az x-et meghatározni. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmus függvény vagy a geometriai transzformációk).	Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját. Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának (leszűkítésének) és kiterjesztésének fogalmát.
		Összetett függvény fogalma.

3.2 Egyváltozós valós függvények	Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .	Ismerje és tudja ábrázolni az n Î N függvényt. Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezni.

3.2.1 A függvények grafikonja, függvénytranszformációk	Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról.	A függvény grafikonjának fogalma
	Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)].	Tudja ábrázolni az alapvető függvények (3.2) transzformáltjainak grafikonját (c·f(ax+b)+d).

3.2.2 A függvények jellemzése	Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás szempontjából.	Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére. Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok megoldása.

3.3 Sorozatok	Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait.	Sorozat jellemzése (korlátosság, monotonitás), a konvergencia szemléletes fogalma. Egyszerű rekurzív képlettel megadott sorozatok.

3.3.1 Számtani és mértani sorozatok	Tudjon olyan feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol a számtani, illetve mértani sorozat fogalmát és az a_n-re, illetve az S_n -re vonatkozó összefüggéseket kell használni.	Bizonyítsa a számtani és a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggéseket, valamint az összegképleteket.

Végtelen mértani sor		Ismerje a végtelen mértani sor fogalmát, összegét.

3.3.2 Kamatos kamat, járadékszámítás	Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni.	Tudjon gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet számolni.

3.4. Az egyváltozós valós függvények analízisének elemei
3.4.1 Határérték, folytonosság		Ismerje a végesben vett véges, a végtelenben vett véges és a tágabb értelemben vett határérték szemléletes fogalmát. A folytonosság szemléletes fogalma.

3.4.2 Differenciálszámítás		Tudja a differencia- és differenciálhányados definícióját. Alkalmazza az összeg, konstansszoros, szorzat- és hányadosfüggvény deriválási szabályait. Alkalmazza egyszerű esetekben az összetett függvény deriválási szabályát. Tudja bizonyítani, hogy esetén. Ismerje a trigonometrikus függvények deriváltját. Alkalmazza a differenciálszámítást: – érintő egyenletének felírására, – szélsőérték-feladatok megoldására, – polinomfüggvények (menet, szélsőérték, alak) vizsgálatára.

3.4.3 Integrálszámítás		Ismerje folytonos függvényekre a határozott integrál szemléletes fogalmát és tulajdonságait. Ismerje a kétoldali közelítés módszerét, az integrálfüggvény fogalmát, a primitív függvény fogalmát, valamint a Newton–Leibniz-tételt. Tudja polinomfüggvények, illetve a szinusz és koszinusz függvény grafikonja alatti területet számolni.

TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
TÉMÁK	Középszint	Emelt szint
5.1 Leíró statisztika 5.1.1 Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai	Tudjon adott adathalmazt szemléltetni. Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát.
	Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon adott diagramról információt kiolvasni. Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság.	Tudjon hisztogramot készíteni, és adott hisztogramról információt kiolvasni.

5.1.2 Nagy adathalmazok jellemzői, statisztikai mutatók	Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: – aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), – medián (rendezett minta közepe), – módusz (leggyakoribb érték). Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás.	Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot.

	Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével.

5.2 A valószínűségszámítás elemei	Véges sok kimenetel esetén szimmetriamegfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban.
	Esemény, eseménytér konkrét példák esetén.	Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége, feltételes valószínűség, függetlenség, függőség.

	A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között.	A nagy számok törvényének szemléletes tartalma (nagyobb n-ekre valószínűbb, hogy ). Geometriai valószínűség.

	Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás.	A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) levezetése, tulajdonságai és ábrázolása. Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében.

TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
TÉMÁK	Középszint	Emelt szint
4.1 Elemi geometria	Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát.

4.1.1 Térelemek	Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Ismerje a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat.
	Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat.	Alakzatok távolságának értelmezése.

4.1.2 A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok	Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban.	Parabola fogalma.

4.2 Geometriai transzformációk		A geometriai transzformáció mint függvény.

4.2.1 Egybevágósági transzformációk
Síkban	Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.	Tudja pontosan megfogalmazni az egybevágósági transzformációk definícióit, a síkidomok egybevágóságának fogalmát, valamint a sokszögek egybevágóságának elégséges feltételét. Pont körüli forgatás alkalmazása.

Térben		Ismerje és alkalmazza a térbeli egybevágósági transzformációkat (eltolás, tengely körüli forgatás, pontra vonatkozó tükrözés, síkra vonatkozó tükrözés).

4.2.2 Hasonlósági transzformációk	Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket.	Ismerje a hasonlósági transzformáció definícióját.

4.2.3 Egyéb transzformációk
Merőleges vetítés		Tudja a merőleges vetítés definícióját, tulajdonságait. Legyen képes gyakorlati példákban alkalmazni (pl. alaprajz értelmezése).

4.3 Síkbeli és térbeli alakzatok	Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint.

4.3.1 Síkbeli alakzatok
Háromszögek	Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait.
	Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban.	Bizonyítsa a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó tételeket (körülírt és beírt kör középpontja; magasságpont, súlypont, középvonal tulajdonságai).
	Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását.	Bizonyítsa a Pitagorasz-tételt és megfordítását.
	Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt.	Bizonyítsa a magasság- és a befogótételt.

Négyszögek	Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű feladatokban. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.	Húrnégyszög, érintőnégyszög tételének ismerete (bizonyítással) és alkalmazása.

Sokszögek	Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Tudja a szabályos sokszögek definícióját.	A konvex sokszög átlóinak száma, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tétel bizonyítása.

Kör	A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban.
	Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. A szög mérése fokban és radiánban. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével.	Bizonyítsa, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, valamint hogy a külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Igazolja és alkalmazza feladatokban a kerületi és középponti szögek tételét. Ismerje és használja a látókör fogalmát.
	Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását.	Bizonyítsa a Thalész-tételt és megfordítását.

4.3.2 Térbeli alakzatok	Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban.

4.4 Vektorok síkban és térben	Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: – vektor fogalma, abszolútértéke, – nullvektor, ellentett vektor, – vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, – vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, – vektor felbontása összetevőkre. Skaláris szorzat definíciója, tulajdonságai. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: – vektor koordinátái, – a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái, – vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái,
	– skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatokban.	A skalárszorzat koordinátákból való kiszámításának bizonyítása.

4.5 Trigonometria	Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés.
	Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit.	Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket (, , ).

	Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.	Bizonyítsa a szinusz- és a koszinusztételt.

4.6 Koordinátageometria 4.6.1 Pontok, vektorok	Tudja vektor koordinátáit, abszolútértékét.
	Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban.	Szakasz felezőpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggések igazolása.

	A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatokban.	Igazolja a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést.

4.6.2 Egyenes	Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel.	Az egyenes egyenletének levezetése különböző kiindulási adatokból a síkban.

4.6.3 Kör	Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban.	A kör egyenletének levezetése. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolata. Két kör kölcsönös helyzetének meghatározása, metszéspontjainak felírása. Külső pontból húzott érintő egyenletének felírása.

4.6.4 Parabola		A parabola alakú egyenletének levezetése. Feladatok a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolákra.

4.7 Kerület, terület	Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát. Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: ; . Nevezetes négyszögek területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása.	A háromszög területének kiszámítására használt képletek bizonyítása, további összefüggések: (bizonyítással), alkalmazása.
	Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok.	Szabályos sokszögek területképletének bizonyítása (oldalszám és körülírt vagy beírt kör sugara ismeretében).

4.8 Felszín, térfogat	Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel.	Térgeometriai feladatok megoldása.

TÉMÁK

TÉMÁK

TÉMÁK

TÉMÁK

TÉMÁK