4.1. Szabályos testek száma

Euler tételének felhasználásával bizonyítható be akövetkező tétel:

5

szabályos

test létezik.

 


 

Tétel: Öt szabályos test létezik.

Bizonyítás:

Tekintsünk egy tetszőleges konvex poliédert, ésvezessük be a következő jelöléseket!

Lapok száma: l.

Csúcsok száma: c.

Élek száma: e.

Egy lapon lévő élek száma: n.

Egy csúcsba futó élek száma: m.

Ekkor igazak az alábbi összefüggések (egyszerűkombinatorikai gondolatmenet miatt):

Figyelembe véve azt, hogy , a következő öt lehetőséget kapjuk:

 

 

n

m

e

l

c

Test

1.

3

3

6

4

4

Tetraéder

2.

3

4

12

8

6

Oktaéder

3.

3

5

30

20

12

Ikozaéder

4.

4

3

12

6

8

Hexaéder

5.

5

3

30

12

20

Dodekaéder

Felhasználtuk, hogy összefüggés adódik azEuler-tételből, így .)

Még végig kell gondolnunk, hogy ilyen paraméterűpoliéderek tényleg vannak, származtathatók.

A hexaéder e már jól ismert kocka. Belőleszármaztatható a tetraéder, az oktaéder. Az oktaéderből ikozaéder, abból pediga dodekaéder.