РПХ ЖБЕРЮ: ЯХМХИ

Содержание. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий . Независимые события. Теорема умножения для независимых событий . Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РA (В) = Р (В). (*) Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим Р (A) Р (В) = Р (В) РB (A). Отсюда РB (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что с в о й с т в о н е з а в и с и м о с т и с о б ы т и й в з а и м н о. Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события 'первое орудие поразило цель' и 'второе орудие поразило цель' независимы. пример З а м е ч а н и е 1. Если события А и В независимы, то независимы также события Действительно, Следовательно, Отсюда т. е. события А и В независимы. Независимость событий является следствием доказанного утверждения. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A1, A2, А3, независимы в совокупности, то независимы события A1 и А2, А1 и А3, А2 и A3; А1 и A2A3, A2 и A1A3, А3 и A1A2. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один - в красный цвет (А), один - в синий цвет (В), один - в черный цвет (С) и один - во все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет? Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) = 2 / 4 = 1 / 2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = 1 / 2, Р (С) = 1/ 2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1 / 2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события A и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы. Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность РBC (A)= 1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А) = 1 / 2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности. Приведем теперь следствие из теоремы умножения. С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р (А1А2 ... Аn) = Р (А1) Р (А2) ... Р (Аn). Доказательство З а м е ч а н и е. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности. примеры ПЮГДЕКШ КЕВЕМХЕ ЯКСУ ЛЮЦМХРМШИ ПЕЬЕРЙЮ ЯРНОМШИ ОКЮЯРШПЭ ЙПСФЙЮ ХМТНПЛЮЖХНММШИ БЮКЮЮЛ ЙНМЙСПЕМРМШИ ЮМЮКХГ КСЙНБХВМШИ ЖБЕР ЦНЯСДЮПЯРБЕММШИ ЦЕПА КЧЛХМХЯЖЕМРМЮЪ ЙПЮЯЙЮ vps vds motorola v3i ЙСОХРЭ 5440.13 (ЙПШЬЙЮ) ЙСОХРЭ МХООЕКЭ КСЙНБХВМШИ ЖБЕР НАГБНМ ПНЛ ДНЯРЮБЙЮ soflens comfort peg perego venezia ЛЮЦМХРМШИ ПЕЬЕРЙЮ sharp ar-5415 НВЙХ МНВМНИ БХДЕМХЕ СВЕР ДЮММШИ ЮБРНЬЙНКЮ ЛСЯНПМШИ ОЮЙЕР ЛЕРПНАНМД МНВМНИ НВЙХ ЦХДПЮМР ЙПЮЯЙЮ ДБСУЙНЛОНМЕМРМШИ ЦПЮДХПМЪ БЕМРХКЪРНПМШЕ ЖБЕР dufour ХГЛЕПХРЕКЭ rlc ЩЙЯХЛЕП КЮГЕП ЙСККЕП 478 ЙНЛОЮМХЪ ЯЕМР-КЧЯХХ ЙСОХРЭ ЩКЕБЮРНПМШИ СГЕК thuraya ЖБЕР ЦЮПЛНМХЪ dunlup 205 55 r16 ЖХЙКНМ ЯЖМ-40 ОНЦКНЫЕМХЕ ПЮДХНБНКМЮ ОЕФН 407 НДЕБЮМХЕ АЮУХКЮ ХГЛЕПХРЕКЭ РЕЛОЕПЮРПШ АЕПЕЛЕММНЯРЭ ПНД ЮЩПНАХЙЮ ЛЪВНЛ ЮБРНХМТНПЛЮРНП ЛХЦПЕМЭ ДЕБЕКНОЕПЯЙЮЪ ЙНЛОЮМХЪ ХМФЕМЕПМШИ ЦЕНДЕГХЪ dunlup 205 55 r16 ЙСКЕП ОПНЖЕЯЯНП ЙПЮЯМШИ ОКНЫЮДЭ БЮЯХКЭЕБЯЙХИ ЯОСЯЙ БНЯЯРЮМНБКЕМХЕ ТЮИК ХГЛЕПХРЕКЭ НЯБЕЫЕММНЯРЭ УЕМДЩ ЯНМЮРЮ ЙСККЕП ЙНПБЕР-РЕКЕЙНЛ ЙЮЯЯНБШИ ЛЮЬХМЮ ДНЯРЮБЙЮ ЯСЬЮ ДХЯОЕРВЕПХГЮЖХЪ ОПНБЕДЕМХЕ КНРЕПЕЪ ПНЛ ДНЯРЮБЙЮ КХБМЕЯАНПМШЕ ПЕЬЕРЙЮ ПЮЯЯШКЙЮ ЙНППЕЯОНМДЕМЖХЪ ЯРЮКЭМНИ РНОЙХИ spartherm СПНЙ НУНРЮ АНКЕМ ЮКЙНЦНКХГЛНЛ ЮЙПХКНБШИ ОПЪФЮ 5440.13 (ЙПШЬЙЮ) ЯЙЮВЮРЭ ДКХММШИ МЮПД ЩКЕЙРПНХМЯРПСЛЕМР metabo ЯСЬХКЭМШИ ЛЮЬХМЮ electrolux РПЕУЛЕПМШИ ОПЕГЕМРЮЖХЪ ЙСОХРЭ tomb raider БХДЕНЯЗЕЛЙЮ РНПФЕЯРБН ДНЯРЮБЙЮ ЯЮМЙР ЙКЕХРЭ МЮМЕЯЕМХЕ ХГЛЕПХРЕКЭ РЕЛОЕПЮРПШ ХМДХБХДСЮКЭМШИ АЮМЙНБЯЙХИ ЪВЕИЙЮ ОПХАНП ЙПШЯЮ ДБСУРЮПХТМШЕ ЩКЕЙРПНЯВЕРВХЙ БХРПХМЮ ОНДНЦПЕБЮЕЛШИ БЮГЮ 2113 ЯНГДЮМХЕ КНЦН fag shell omala dect desktop 8800 gold kyiv apartaments service БЙСЯ ЖБЕР МЮПД НМКЮИМ БПЕЛЪ ЮПУЮМЦЕКЭЯЙ thuraya sg 2520 РПНЯРЭ ДНЯРЮБЙЮ ЙСКЕП ОПНЖЕЯЯНПМШИ ЦЕКСЯХК КЮЙ ВЕПМШИ ЙНТЕ ЛЕРПНАНМД ЯОЕЖНАСБЭ ДЕБЕКНОЕПЯЙЮЪ ЙНЛОЮМХЪ ОПНДЮРЭ ЙЮИР КЕВЕМХЕ ЦНКНБНЙПСФЕМХЕ ТКЕЬ ОПЕГЕМРЮЖХЪ ЯРЮКЭМНИ РНОЙХИ spartherm ЙСОХРЭ ЮПУХБЮРНП АХКЕР АЮКЕР ЩПНГХЪ ЬЕИЙЮ ЛЮРЙЮ ОЕПЕПЮАНРЙЮ ПЕГХМЮ ПЮЙ ОПНЯРЮРЮ ЩКЕЙРПНОЕВЭ dimplex model elba ЮПНЛЮРМШИ ЛХП ПЮЙ ОПНЯРЮРЮ ЖЕМРПЮКЭМШИ ДЕРЯЙХИ ЛХП ДНЯРЮБЙЮ ДПНБ МНФМНИ ОКЮЯРШПЭ ХЛОКЮМРЮР ОЕФН ТНЯТНПХЖХПСЧЫЮЪ ЙПЮЯЙЮ ariston НОР НУНРЮ КХЯ МЮДЕБЮМХЕ АЮУХКЮ АЕМГНОХКЮ ХЛОНПРМШИ ЬРЮЛОНБЙЮ ЮЯАЕЯР Ю7-450 ЙСОХРЭ СЦНКЭМХЙ ЩЙЦ ЯЕПБХЯ НРАЕКХБЮМХЕ АЕКЭЕ ОЕПЕБНДВЕЯЙХИ АЧПН ОНКХНКЕТХМНБЮЪ ОКЕМЙЮ ТСРАНКЭМШИ РНРЮКХГЮРНП ГЮКНЦ ЙНЯРПНЛЮ БПЮФДЕАМШИ ОНЦКНЫЕМХЕ ДХЯОНПР ЮКЕЙЯЮМДП БЕПРХМЯЙХИ. ФЕКРШИ РЮМЦН ЙЮДПНБШИ БКЮДХЛХП ЛСКЭРХЛЕРПШ ЖХТПНБНИ ЩЙЯХЛЕП КЮГЕП ВХККЕПШ КЕВЕМХЕ ГЮПСАЕФНЛ ЛЮЦМХРМШИ ПЕЬЕРЙЮ ОПНЦПЮЛЛЮ ЬХТПНБЮМХЕ o2 optix НГЕКЕМЕМХЕ ЯПЕГЮММШИ ЖБЕР ЯКЮАНЯРЭ ЦНКНБНЙПСФЕМХЕ tognana ТЮПТНП ЯЙЮВЮРЭ ЙНПНРЙХИ МЮПД ЛСЯНПМШИ ОЮЙЕР ОПНУНДХРЭ НЯЛНРП ЦХМЕЙНКНЦ ОНЯРЮБЫХЙ БХМЮ БЕВЕПМХИ ОКЮРЭЕ ГЮК ЮЩПНАХЙЮ РЕОКНКЧЙЯ ЯНГДЮМХЕ ЮМХЛЮЖХНММШИ ЙКХО ЦЮГНМНЙНЯХКЙЮ black decker НРВЕРМНЯРЭ ОАНЧК ОПХАНП ЙПШЯЮ БШОХЯЙЮ ЕЦПО ОНДЬХОМХЙНБШИ СГЕК ЮБХЮ НРОПЮБЙЮ ЙСКЕП АЕЯЬСЛМШИ МЮОШКЕМХЕ ООС АЕМГНОХКЮ stihl ЩКЕЙРПНЛНМРЮФМШИ ЯРНК thuraya sg 2520 ЛЮПЬПСРХГЮРНП ТКЧПХЯЖЕМРМЮЪ ЙПЮЯЙЮ НРЙЮВЙЮ РСЮКЕР РПХ ЖБЕРЮ: ЯХМХИ