Publikáció a dinamikus topológia modellezéséről
1. BEVEZETÉS
Az immáron csaknem két évtizede tartó időfizikai
kutatásaink során hamar felmerült bennünk az igény, hogy az idő
szerkezetének nem csupán a halmazelméleti, és geometriai, hanem
a topológiai tulajdonságait is megvizsgáljuk. Az alábbi
publikációnk az ezzel kapcsolatos eredmények egy részéről szól,
egyben iránymutatóként szolgálva a további kutatásokhoz. Mielőtt
azonban belemerülnénk a témába, foglaljuk össze tömören a
klasszikus (halmazelméleti) topológiával kapcsolatos
legfontosabb szabályokat.
A matematikában a topológia, mint önálló
szakterület a folytonosság általános törvényszerűségeivel
foglalkozik, tehát a felületek nem geometriai tulajdonságaival.
A geometria a felület azon tulajdonságainak összessége, melyek
megváltoznak a felület deformálásakor. Ilyenek a görbület, a
felszín, a távolság, a szög és a vastagság. A topológia ellenben
a felület azon tulajdonságainak összessége, melyeket a
megfordítható alakváltoztatással járó deformáció nem érint.
Ilyen deformációk a felület hajlítása, nyújtása, csavarása,
tehát a rugalmas alakváltoztatások. A klasszikus topológiában
ezek a megengedett műveletek a felületekkel. A felület
elszakítása, elvágása vagy összeragasztása olyan nemrugalmas
alakváltoztatással járó deformáció, ami megváltoztatja a felület
topológiai tulajdonságait is, nemcsak a geometriaiakat.
A felületek osztályozásánál megkülönböztetünk külső
és belső topológiát. Két felület belső topológiája akkor azonos,
ha rajtuk (bennük) ugyanazon szabályok érvényesülnek (pl.
mindkettő egyoldalú). A külső topológia a felület környezetbe
való beágyazására vonatkozik (hogy néz ki kívülről). Egy
szemléletes példa: a sima, csavarodás nélküli szalaggyűrű (a
továbbiakban Nullás-szalag) belső topológiája azonos egy 360
fokos csavarodású szalaggyűrűével (a továbbiakban
Duplás-szalag). Mindkettő kétoldalú, de a külső topológiájuk
különböző.
Egy felületet akkor hívunk egyoldalúnak, ha
bármely pontjából indulva bármely pontjába eljuthatunk (a
felülete mentén) anélkül, hogy átlépnénk a felület határolóélén
(szélén) vagy átlyukasztanánk a felületet (ilyen pl. a
Möbius-szalag és a Mandu). A nem egyoldalú felületek kétoldalúak
(pl. sima papírlap, Nullás-szalag, gömbfelület). A klasszikus
topológiában csak egy és kétoldalú felületek léteznek, bár
tudjuk, hogy összeragasztással más, három vagy több oldalú
felületek is létrehozhatók. Az egyoldalú felületek továbbá egy
pontnyi vastagságúak, a kétoldalúak két pontnyiak.
Az olyan felületen futó utat, ami mentén haladva az
utazó a saját tükörképeként tér vissza a kiindulási pontjára,
irányításfordító útnak nevezzük. Az olyan felület, ami nem
tartalmaz irányításfordító utat, az "irányítható felület" (pl.
Nullás-szalag, gömb), ami tartalmaz, a "nem irányítható felület"
(pl. Möbius-szalag, Mandu).
2. DEFINÍCIÓK
Mivel az idő az egyetlen létező, dinamikus
megnyilvánulás a teremtésben, nem alkalmas a kutatására és
leírására a klasszikus topológia, mert az a statikus euklideszi
(fiktív) térre építkezik. Az idő matematikailag egzakt
megértéséhez tehát elengedhetetlen, hogy egy dinamikus
topológiát fejlesszünk ki, ami számos elemében és törvényében
különbözik az eddig ismert topológiai struktúráktól. Ez egyben
segíteni fogja a dinamikus (valódi) dimenziógeometriai
kutatásainkat is, és hozzásegíthet a teremtés bonyolultabb
képződményeinek pontos megismeréséhez, modellezéséhez.
A szalagológia (szalagok tudománya) a dinamikus
topológiának (kronotopológia) azon altudománya, ami a nyitott
szalagcsíkok és a hurokba zárt szalaggyűrűk topológiai (és
másodsorban geometriai) tulajdonságainak vizsgálatával
foglalkozik. Az időszerkezetek matematikai megközelítése során
jutottunk el ama intuitív felismeréshez, hogy a különféle
szalagok révén könnyen és pontosan modellezhetők az időszférák
felületi jellemzői. Az alábbiakban szeretnénk bemutatni a
szalagokkal kapcsolatos felfedezéseinket, számos képpel
illusztrálva mondandónkat.
A szalagológia főként abban különbözik a klasszikus
topológiától, hogy itt megengedett művelet az elszakítás,
elvágás és összeragasztás. Ezen a módon tetszőleges tulajdonságú
felületeket hozhatunk létre, amik a gyakorlatban papírcsíkokból
könnyen előállíthatók, és közvetlenül vizsgálhatók,
tulajdonságaik pedig jól mérhetőek. A továbbiakban a téglalap
formájú papírlapokat csíkoknak, ezek gyűrűbe kapcsolt, tehát a
két végén összeragasztott (körbejárható) változatát pedig
szalagoknak fogjuk nevezni.
Egy csíkot vagy szalagot alapvetően kétféleképp
lehet elvágni. Egyrészt úgy, hogy a vágás vonala érintse a
felület határolószélét, amit külső vágásnak nevezünk. Másrészt,
hogy ne érintse (belső vágás), amit felhasításnak nevezünk. Ha
érinti, akkor azt vagy ugyanazon szél két különböző pontján kell
tennie vagy két különböző szélt kell érintenie. Vágás alatt
olyan szétválasztását értjük a folytonos felületnek, ami nem áll
meg a felület belsejében egy tetszőleges ponton (részvágás),
hanem határszéltől határszélig tart vagy a vágás vonala önmagába
fut vissza (körbevágás).
Az alábbiakban csak a felhasításokkal és
körbevágásokkal foglalkozunk majd. A körbevágásokat a
határszélekkel párhuzamosan futó vágásfajtákra korlátozzuk,
tehát mellőzzük a szalagok felszínébe vágható különféle
"lyukakat". Kétféle felhasítása lehetséges a szalagoknak:
szimmetrikus és aszimmetrikus. A szimmetrikus felhasítás a
szalag középvonala mentén történik és lokálisan két egyenlő
szélességű részre bontja szét a szalagot. Az aszimmetrikus
felhasítás két eltérő szélességű részre osztja a szalagot, itt
gyakorlati okokból többnyire az 1:3 arányt alkalmaztuk.
3. A KÉPEKRŐL
A szemléltető képek az egyik oldalukon színes,
másikon fehér kartonpapírból készültek, ahol a kék szín a jobbos
csavarodást jelzi (órairányú), a piros pedig a balost
(órairánnyal ellentétes). A ragasztást tixó ragasztószalaggal és
PVA ragasztóval végeztük. Egyes szalagok sötétkék helyett
világoskék papírból készültek, mivel épp akkor nem állt
rendelkezésre a város papírboltjaiban elegendő mennyiségű
sötétkék kartonlap. A képek digitális fényképezőgéppel
készültek, ami néhány esetben homályos felvételeket
eredményezett, mint utólag kiderült. Ettől függetlenül a lényeg
- a szalagok struktúrája - jól látható.
A html dokumentumokba illesztett kisméretű képekre
kattintva megnézhetők a szalagok nagyban is. Az egész publikáció
összmérete így kb. 40 Mb körüli lehet, tehát eltart egy darabig
a letöltése.
A képek átlátható elnevezésére a következő
szabályokat alkalmaztuk.:
Az elöl álló betű és szám jelentése.: e - egyszerű
szalag, l2 - két összeláncolt szalag, l3 - három összeláncolt
szalag, k2 - két keresztben összeragasztott szalag, k3 - három
keresztben összeragasztott szalag, k22 - két keresztben két
helyen összeragasztott szalag, h2 - két hosszában
összeragasztott szalag, h3 - három hosszában összeragasztott
szalag, h22 - két hosszában két helyen összeragasztott szalag,
cs - papírcsík. A kis képek neve előtt kötőjel található.
A csavarodási irány és mértékének jelzése követi
ezt.: b1 - balra 180 fokban megcsavart szalag, b2 - balra 360
fokban (2x180) megcsavart szalag, j0 - csavarodás nélküli,
Nullás-szalag, j1 - jobbra 180 fokban megcsavart szalag, j2 -
jobbra 360 fokban megcsavart szalag, stb. Két vagy több szalag
esetén mindegyik csavarodása külön jelezve van.
A következő betű és szám a szalag felhasításának
módjáról és számáról ad információt.: s1 - szimmetrikus
felhasítás egyszer, s2 - szimmetrikus felhasítás kétszer,
a0 - aszimmetrikus felhasításra váró szalag, a1 - aszimmetrikus
felhasítás egyszer, a2 - aszimmetrikus felhasítás kétszer. A
szimmetrikus felhasítások képsorozatainál a kiindulási szalagot,
ami még nincs felhasítva, nem jelöltük külön s0-val. Ha egy
fázisról több képet is készítettünk, azok a, b, c, stb. betűkkel
vannak megjelölve. Ahol x betű szerepel, ott a szalagrendszert
megcsonkítottuk, levágva egyes részeit, hogy a megmaradók
struktúrája könnyebben felismerhető legyen.
Végezetül a név utolsó betűjének jelentése.: t -
térbeli, három dimenziós szalag, s - síkbeli, két dimenziós
szalag, ami a három dimenziós szalag kilapításával készült, r -
a kép alapján rajzolt, egyszerűsített változat.
A munkánk befejezésekor hatalmas szalag kupac
maradt vissza, aminek újrahasznosításán azóta is gondolkodunk...
TARTALOM
4. EGYSZERŰ SZALAGOK
4.1. Szimmetrikus
felhasítás
4.2. Aszimmetrikus
felhasítás
4.3. Felhasítási szabályok
5. LÁNCOLT SZALAGOK
5.1. Két jobbos
csavarodású szalag
5.1.1. Szimmetrikus felhasítás
5.1.2. Aszimmetrikus felhasítás
5.2. Egy balos és egy
jobbos csavarodású szalag
5.2.1. Szimmetrikus felhasítás
5.2.2. Aszimmetrikus felhasítás
5.3. Több láncolt szalag
6. KERESZTBEN ÖSSZERAGASZTOTT SZALAGOK
6.1. Két jobbos
csavarodású szalag
6.1.1. Szimmetrikus felhasítás
6.1.2. Aszimmetrikus felhasítás
6.2. Egy balos és
egy jobbos csavarodású szalag
6.2.1. Szimmetrikus felhasítás
6.2.2. Aszimmetrikus felhasítás
6.3. Többszörösen összeragasztott szalagok
6.4. Több összeragasztott szalag
7. HOSSZÁBAN ÖSSZERAGASZTOTT SZALAGOK
7.1. Két jobbos
csavarodású szalag
7.1.1. Szimmetrikus felhasítás
7.1.2. Aszimmetrikus felhasítás
7.2. Egy balos és egy
jobbos csavarodású szalag
7.2.1. Szimmetrikus felhasítás
7.2.2. Aszimmetrikus felhasítás
7.3. Többszörösen összeragasztott szalagok
7.4. Több összeragasztott szalag
8. SÍKBA KILAPÍTOTT EGYSZERŰ ÉS LÁNCOLT SZALAGOK
9. CSÍKOK
12. ÖSSZEFOGLALÁS - A JÖVŐ KUTATÁSI IRÁNYAI
Amint azt láthattuk, igen változatos formájú és
tulajdonságú szalagokat lehet előállítani viszonylag egyszerű
felhasítások és összeragasztások révén. A bonyolultabb
képződmények elkészítése már komoly gyakorlati nehézségek elé
állítja az embert, ezért felvetődik az igény, hogy számítógépes
program segítségével próbáljuk kibogozni eme gordiuszi-csomók
rejtélyeit. Amennyiben a Tisztelt Olvasók közt akad olyan
elszánt programozó, aki hajlandó megküzdeni a feladattal,
szívesen szolgálunk gyakorlati tanácsokkal és örömmel fogadjuk a
szoftvert. Mert a munkánk még messze nem ért véget, sőt csak
most kezdődik igazán.
Megemlítjük még, hogy nem foglalkoztunk eddig a
gubancok összehurkolódási szabályaival sem. Ez inkább a
csomókötés területére csúszik át, mivel a szalagok felfoghatók
úgy is, mint összefont kötelek. Akit érdekelnek a csomók, annak
ajánljuk a kanadai Rob Scharein matematikus honlapját a Simon
Fraser Egyetemen. A Háromhurkos-szalag kötélcsomós változatát
például náluk Trefoil néven lehet megtalálni, de a
Möbius-szalaggal és sok más felülettel egyenértékű csomó is
megvan nekik színes, számítógépes ábrán. Címük: http://www.pims.math.ca/knotplot/
A szalagológia jövőbeli célja (többek között) a
szemléletes és átlátható modellek készítése lesz a teremtés
fontos alkotórészeiről. Mert egy szalag sokkal többet elárul az
idő szerkezetéről az embernek, mint egy képlet vagy bármennyi
körmönfont magyarázat.
Ajánlott irodalom:
Jeffrey R. Weeks - A tér alakja. Felületek és háromdimenziós
alakzatok ábrázolása. Typotex Kiadó. 2002.
Készült: 2003.08. - 2004.05.